Determine a solução do PVI: x y' + y = x^2 ; y(2) = 8.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos deu um problema de valor inicial (PVI) que é uma equação diferencial. A equação é com a condição inicial . Vamos resolver isso passo a passo usando métodos de equações diferenciais de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear. A forma padrão é:
Para isso, dividimos toda a equação original por (supondo que ):
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a resolver a equação. O fator integrante ( ) é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela fator integrante :
Isso nos leva de volta à equação original, confirmando que estamos no caminho certo. Agora, a equaç��o pode ser escrita como:
Substituindo e :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, isolamos :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução do PVI é:

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