Utilize o método do fator integrante para determinar uma solução geral para as EDO d y/d x + 3 y/x = x^3 - 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo lineares de primeira ordem: . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO usando o método do fator integrante. Para isso, vamos precisar entender a forma padrão dessas equações e como aplicar o fator que vai simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Aqui, e . Essa identificação é importante porque o método do fator integrante se baseia nesses termos para encontrar uma solução.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada em toda a equação, torna o lado esquerdo uma derivada exata. A fórmula para o fator integrante é:
Vamos calcular:
Como geralmente positivo no contexto, simplificamos para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

O lado esquerdo agora é a derivada do produto do fator integrante com :
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Simplificando:

Passo 6

Agora, resolvemos para dividindo ambos os lados por :
Simplificando as potências:

Resposta

A solução geral da EDO é

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