Determine uma solução que satisfaz a condição inicial dada.
\frac{d y}{d x}=\frac{3 x^{2}-y}{x-3 y^{2}} e y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede que encontremos uma solução que satisfaça a condição inicial dada. As informações relevantes são:
  • A equação diferencial é \frac{d y}{d x}=\frac{3 x^{2}-y}{x-3 y^{2}}.
  • A condição inicial é y(1)=0.
Ou seja, precisamos achar uma função y(x) (pelo menos implicitamente) que satisfaça a equação diferencial e que, ao avaliar em x=1, dê y=0.

Passo 2

Colocamos a equação diferencial na forma diferencial total para analisar propriedades que facilitam a solução. Multiplicando ambos os lados por dx e pelo denominador, obtemos
(x-3y^{2})\,dy=(3x^{2}-y)\,dx.
Reescrevendo tudo no lado esquerdo como uma forma diferencial igual a zero:
-(3x^{2}-y)\,dx+(x-3y^{2})\,dy=0.
Definimos
M(x,y)=-(3x^{2}-y)=-3x^{2}+y,\qquad N(x,y)=x-3y^{2}.
Agora eu te ensino o teste que vamos usar: para saber se essa forma é exata existe uma função \Phi(x,y) tal que \frac{\partial\Phi}{\partial x}=M e \frac{\partial\Phi}{\partial y}=N. Uma condição fácil de verificar é comparar as derivadas parciais cruzadas: se \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} em um domínio onde tudo é suave, a equação é exata.
Calculamos as parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=1.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}, a equação é exata. Isso significa que existe \Phi(x,y) com d\Phi=M\,dx+N\,dy.

Passo 3

Para encontrar \Phi(x,y), integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int(-3x^{2}+y)\,dx.
Fazendo a integração termo a termo:
\int -3x^{2}\,dx=-x^{3},\qquad \int y\,dx = xy,
portanto
\Phi(x,y)=-x^{3}+xy+h(y),
onde h(y) é uma função de y que aparece porque ao integrar em x a constante de integração pode depender de y.

Passo 4

Agora usamos a condição \frac{\partial\Phi}{\partial y}=N(x,y) para determinar h(y). Calculamos a derivada parcial:
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=x+h'(y).
Devemos ter \frac{\partial\Phi}{\partial y}=N(x,y)=x-3y^{2}. Igualando,
x+h'(y)=x-3y^{2}.
Subtraindo x dos dois lados obtemos
h'(y)=-3y^{2}.
Integramos em y:
h(y)=\int -3y^{2}\,dy=-y^{3}+C,
onde C é constante real.

Passo 5

Substituindo h(y) em \Phi, a função potencial fica
\Phi(x,y)=-x^{3}+xy-y^{3}+C.
A solução implícita geral da equação exata é \Phi(x,y)=\text{const}. Podemos agrupar a constante para o outro lado e escrever a solução implícita sem o C explícito:
-x^{3}+xy-y^{3}=K,
onde K é constante determinada pela condição inicial. Agora aplicamos y(1)=0: substituindo x=1 e y=0,
-1^{3}+1\cdot 0-0^{3}=K \quad\Rightarrow\quad -1=K.
Portanto a constante é K=-1. Podemos multiplicar por -1 ou rearranjar para uma forma mais bonita; por exemplo:
x^{3}-xy+y^{3}=1.

Passo 6

Comentário didático final (rápido e útil): chegamos a uma solução implícita \;x^{3}-xy+y^{3}=1\;. Resolver explicitamente para y daria uma equação cúbica em y, o que é possível mas desnecessário aqui — em provas, geralmente está perfeitamente aceitável deixar a solução em forma implícita quando a equação natural resulta disso. Lembra: o truque foi reconhecer que a forma era exata e então encontrar a função potencial \Phi.

Resposta

x^{3}-xy+y^{3}=1

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