Determine uma solução que satisfaz a condição inicial dada.
e
Passo 1
O enunciado pede que encontremos uma solução que satisfaça a condição inicial dada. As informações relevantes são:
- A equação diferencial é
. - A condição inicial é
.
Ou seja, precisamos achar uma função
(pelo menos implicitamente) que satisfaça a equação diferencial e que, ao avaliar em
, dê
.
Passo 2
Colocamos a equação diferencial na forma diferencial total para analisar propriedades que facilitam a solução. Multiplicando ambos os lados por
e pelo denominador, obtemos
Reescrevendo tudo no lado esquerdo como uma forma diferencial igual a zero:
Definimos
Agora eu te ensino o teste que vamos usar: para saber se essa forma é exata existe uma função
tal que
e
. Uma condição fácil de verificar é comparar as derivadas parciais cruzadas: se
em um domínio onde tudo é suave, a equação é exata.
Calculamos as parciais:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe
com
.
Passo 3
Para encontrar
, integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Fazendo a integração termo a termo:
portanto
onde
é uma função de
que aparece porque ao integrar em
a constante de integração pode depender de
.
Passo 4
Agora usamos a condição
para determinar
. Calculamos a derivada parcial:
Devemos ter
. Igualando,
Subtraindo
dos dois lados obtemos
Integramos em
:
onde
é constante real.
Passo 5
Substituindo
em
, a função potencial fica
A solução implícita geral da equação exata é
. Podemos agrupar a constante para o outro lado e escrever a solução implícita sem o
explícito:
onde
é constante determinada pela condição inicial. Agora aplicamos
: substituindo
e
,
Portanto a constante é
. Podemos multiplicar por
ou rearranjar para uma forma mais bonita; por exemplo:
Passo 6
Comentário didático final (rápido e útil): chegamos a uma solução implícita
. Resolver explicitamente para
daria uma equação cúbica em
, o que é possível mas desnecessário aqui — em provas, geralmente está perfeitamente aceitável deixar a solução em forma implícita quando a equação natural resulta disso. Lembra: o truque foi reconhecer que a forma era exata e então encontrar a função potencial
.