Determine uma solução que satisfaz a condição inicial dada.
e
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial e pede uma solução que satisfaça essa condição. Escrevo abaixo, claramente, o que temos e o que se pede:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
. - Pedido: determinar a solução
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Observação importante extraída do enunciado: o denominador
aparece na equação, logo a expressão não é definida em
. Isso significa que a solução que encontrarmos está definida em intervalos que não contenham
. A condição inicial está em
, que é segura (não é
).
Passo 2
Primeiro passo algébrico: ponho a equação numa forma mais adequada para resolver. Multiplico ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Agora isolo os termos com
do lado esquerdo e passo a equação para a forma padrão de uma equação do tipo linear de primeira ordem (ou seja, algo como
). Subtraindo
dos dois lados:
Dividindo por
(apenas para mostrar o coeficiente do
) e escrevendo na forma explícita:
Aqui identifiquei os coeficientes: o termo multiplicando
é
e o termo à direita é
.
Passo 3
Agora a ideia que usamos é a do fator integrante. Vou explicar devagar e com um mini-exemplo:
- Se temos uma equação do tipo
então existe uma função chamada fator integrante
que, quando multiplicamos a equação por
, transforma o lado esquerdo num derivada do produto
:
- Exemplo rápido (para fixar): se
, então . Multiplicando por a equação dá .
Voltando ao nosso caso, temos
. Calculo o fator integrante:
Faço a integral com substituição para ficar bem claro: ponho
, então
e
. Assim
Portanto
Para trabalhar com mais simplicidade escolhemos
(uma constante multiplicativa não altera o procedimento).
Passo 4
Multiplico a equação padrão pelo fator integrante
. Pela construção do fator integrante, o lado esquerdo vira a derivada do produto
. Assim:
Essa igualdade é bonita porque agora basta integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 5
Integro ambos os lados:
A integral do lado esquerdo elimina a derivada, e a do lado direito é uma integral elemental:
onde
é a constante de integração.
Agora isolo
:
Essa é a família geral de soluções (com uma constante
a determinar pela condição inicial).
Passo 6
Uso a condição inicial
para encontrar
. Substituo
e
na expressão geral:
Passo a álgebra devagar: multiplico ambos os lados por
,
Isolando
,
Passo 7
Agora que encontramos a constante
, a solução particular que satisfaz a condição inicial é obtida substituindo esse valor na expressão geral
. (A solução está definida para
; a condição inicial em
é compatível.)