Determine uma solução que satisfaz a condição inicial dada.
\frac{d y}{d x}=\frac{x+2 y}{1-2 x} e y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial e pede uma solução que satisfaça essa condição. Escrevo abaixo, claramente, o que temos e o que se pede:
  • Equação diferencial: \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x+2y}{1-2x}.
  • Condição inicial: y(1)=1.
  • Pedido: determinar a solução y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Observação importante extraída do enunciado: o denominador 1-2x aparece na equação, logo a expressão não é definida em x=\tfrac{1}{2}. Isso significa que a solução que encontrarmos está definida em intervalos que não contenham x=\tfrac{1}{2}. A condição inicial está em x=1, que é segura (não é 1/2).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: ponho a equação numa forma mais adequada para resolver. Multiplico ambos os lados por 1-2x para eliminar o denominador:
(1-2x)\dfrac{dy}{dx}=x+2y.
Agora isolo os termos com y do lado esquerdo e passo a equação para a forma padrão de uma equação do tipo linear de primeira ordem (ou seja, algo como y'+p(x)y=q(x)). Subtraindo 2y dos dois lados:
(1-2x)\dfrac{dy}{dx}-2y=x.
Dividindo por 1 (apenas para mostrar o coeficiente do y') e escrevendo na forma explícita:
\dfrac{dy}{dx}-\dfrac{2}{1-2x}\,y=\dfrac{x}{1-2x}.
Aqui identifiquei os coeficientes: o termo multiplicando y é p(x)=-\dfrac{2}{1-2x} e o termo à direita é q(x)=\dfrac{x}{1-2x}.

Passo 3

Agora a ideia que usamos é a do fator integrante. Vou explicar devagar e com um mini-exemplo:
  • Se temos uma equação do tipo
\dfrac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x),
então existe uma função chamada fator integrante
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big),
que, quando multiplicamos a equação por \mu(x), transforma o lado esquerdo num derivada do produto \mu(x)y:
\dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big)=\mu(x)\,q(x).
  • Exemplo rápido (para fixar): se p(x)=1, então \mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^x. Multiplicando por e^x a equação y'+y=q(x) (e^x y)'=e^x q(x).
Voltando ao nosso caso, temos p(x)=-\dfrac{2}{1-2x}. Calculo o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int -\dfrac{2}{1-2x}\,dx\Big).
Faço a integral com substituição para ficar bem claro: ponho u=1-2x, então du=-2\,dx e dx=-\dfrac{du}{2}. Assim
\int -\dfrac{2}{1-2x}\,dx = \int -\dfrac{2}{u}\cdot\Big(-\dfrac{du}{2}\Big)=\int \dfrac{1}{u}\,du=\ln|u|=\ln|1-2x|.
Portanto
\mu(x)=\exp\!\big(\ln|1-2x|\big)=|1-2x|.
Para trabalhar com mais simplicidade escolhemos \mu(x)=1-2x (uma constante multiplicativa não altera o procedimento).

Passo 4

Multiplico a equação padrão pelo fator integrante \mu(x)=1-2x. Pela construção do fator integrante, o lado esquerdo vira a derivada do produto (1-2x)y. Assim:
\dfrac{d}{dx}\big((1-2x)\,y\big)=x.
Essa igualdade é bonita porque agora basta integrar ambos os lados em relação a x.

Passo 5

Integro ambos os lados:
\int \dfrac{d}{dx}\big((1-2x)\,y\big)\,dx=\int x\,dx.
A integral do lado esquerdo elimina a derivada, e a do lado direito é uma integral elemental:
(1-2x)\,y=\dfrac{x^2}{2}+C,
onde C é a constante de integração.
Agora isolo y:
y=\dfrac{\dfrac{x^2}{2}+C}{1-2x}.
Essa é a família geral de soluções (com uma constante C a determinar pela condição inicial).

Passo 6

Uso a condição inicial y(1)=1 para encontrar C. Substituo x=1 e y=1 na expressão geral:
1=\dfrac{\dfrac{1^2}{2}+C}{1-2\cdot 1}=\dfrac{\tfrac{1}{2}+C}{-1}.
Passo a álgebra devagar: multiplico ambos os lados por -1,
-1=\tfrac{1}{2}+C.
Isolando C,
C=-1-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{3}{2}.

Passo 7

Agora que encontramos a constante C=-\tfrac{3}{2}, a solução particular que satisfaz a condição inicial é obtida substituindo esse valor na expressão geral y=\dfrac{\tfrac{x^2}{2}+C}{1-2x}. (A solução está definida para x\neq\tfrac{1}{2}; a condição inicial em x=1 é compatível.)

Resposta

y(x)=\dfrac{x^{2}-3}{2\,(1-2x)}

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