Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais: d y/d x = x y e y(0) = 10

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial . Esse problema faz parte do estudo das equações diferenciais de primeira ordem, especificamente das equações separáveis. Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos separar as variáveis e . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por :
Dessa forma, conseguimos isolar os termos que envolvem de um lado e os que envolvem do outro.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a . A ideia aqui é encontrar uma função que satisfaça a equação.
Na parte esquerda, a integração da derivada simplifica para , e na parte direita, a integral de é .

Passo 4

Realizando as integrações, temos:
Aqui, é a constante de integração que iremos determinar usando a condição inicial.

Passo 5

Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo aplicando a exponenciação em ambos os lados da equação:
Podemos simplificar para uma nova constante , já que também é uma constante.

Passo 6

Assim, a solução geral da equação diferencial é:
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de .

Passo 7

Substituindo e na equação:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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