Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais: d y/d x = (x - 1)/(e^(2 y))

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente às equações diferenciais separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. Queremos colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro. Assim:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por para isolar e deixar com os termos de .

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar as funções primitiva de cada lado:

Passo 4

Vamos integrar cada lado:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Aqui, e são constantes de integração. Podemos combinar essas constantes em uma única constante .

Passo 5

Igualando as duas integrais e simplificando as constantes:
Podemos multiplicar toda a equação por 2 para simplificar:
Onde é apenas outra constante.

Passo 6

Por fim, se quisermos isolar , podemos aplicar o logaritmo natural:
Dividindo por 2:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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