Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:
.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valores iniciais
O conteúdo é resolver uma EDO de segunda ordem sem dependência explícita de
usando a substituição
de modo que possamos transformar em uma EDO de primeira ordem em
.
Passo 2
Definindo
, pela regra da cadeia temos
Substituindo em
obtemos
Dividindo por
(assumindo
) dá
que é uma EDO linear em
.
Passo 3
Reescrevendo como
o fator integrante é
Multiplicando a EDO por
resulta em
Integrando em
dá
Passo 4
Como
, usamos a condição inicial
e
. No ponto
vale
logo
Passo 5
Ficamos com a EDO de primeira ordem separável
Separamos variáveis:
Decompondo em frações parciais:
Integrando,
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
e combinando logs:
exponenciando:
onde
. Isolando
:
Passo 7
Aplicando
: