Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:
y y^{\prime \prime}=y^{2} y^{\prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2} ;\quad y(0)=-\frac{1}{2} ;\quad y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valores iniciais
y\,y'' = y^{2}\,y' + \bigl(y'\bigr)^{2},\quad y(0)=-\tfrac12,\quad y'(0)=1.
O conteúdo é resolver uma EDO de segunda ordem sem dependência explícita de x usando a substituição
v = y',
de modo que possamos transformar em uma EDO de primeira ordem em v(y).

Passo 2

Definindo v(y)=y', pela regra da cadeia temos
y'' = \frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dy}\,\frac{dy}{dx} = v\,\frac{dv}{dy}.
Substituindo em
y\,y'' = y^{2}y' + (y')^{2}
obtemos
y\;v\,\frac{dv}{dy} \;=\; y^{2}v + v^{2}.
Dividindo por v (assumindo v\neq0) dá
y\,\frac{dv}{dy} = y^{2} + v,
que é uma EDO linear em v(y).

Passo 3

Reescrevendo como
\frac{dv}{dy} - \frac{1}{y}\,v = y,
o fator integrante é
\mu(y) = \exp\Bigl(\int -\tfrac1y\,dy\Bigr) = \frac1y.
Multiplicando a EDO por \mu resulta em
\frac{d}{dy}\Bigl(\frac{v}{y}\Bigr) = 1.
Integrando em y
\frac{v}{y} = y + C \quad\Longrightarrow\quad v = y^{2} + C\,y.

Passo 4

Como v=y', usamos a condição inicial y(0)=-\tfrac12 e y'(0)=1. No ponto y=-\tfrac12 vale
1 = v( -\tfrac12 ) = \bigl(-\tfrac12\bigr)^{2} + C\bigl(-\tfrac12\bigr) = \tfrac14 - \tfrac{C}{2},
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\tfrac14 - \tfrac{C}{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad C = -\tfrac32.

Passo 5

Ficamos com a EDO de primeira ordem separável
\frac{dy}{dx} = y^{2} - \tfrac32\,y = y\bigl(y-\tfrac32\bigr).
Separamos variáveis:
\int \frac{dy}{y(y-\tfrac32)} = \int dx.
Decompondo em frações parciais:
\frac1{y(y-\tfrac32)} = -\frac{2}{3}\,\frac1y + \frac{2}{3}\,\frac1{y-\tfrac32}.
Integrando,
-\tfrac{2}{3}\ln|y| + \tfrac{2}{3}\ln\bigl|y-\tfrac32\bigr| = x + D.

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por \tfrac32 e combinando logs:
\ln\Bigl|\frac{y-\tfrac32}{y}\Bigr| = \tfrac32\,x + D',
exponenciando:
\frac{y-\tfrac32}{y} = K\,e^{\tfrac32 x},
onde K=e^{D'}. Isolando y:
1 - K\,e^{\tfrac32 x} = \frac{\tfrac32}{y} \quad\Longrightarrow\quad y(x) = \frac{\tfrac32}{\,1 - K\,e^{\tfrac32 x}\,}.

Passo 7

Aplicando y(0)=-\tfrac12:
-\tfrac12 = \frac{\tfrac32}{1 - K} \quad\Longrightarrow\quad 1 - K = -3 \quad\Longrightarrow\quad K = 4.

Resposta

y(x) = \frac{\tfrac32}{\,1 - 4\,e^{\tfrac32 x}\,}.

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