Determine a solução das siguentes edo’s:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0 \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1. O conteúdo aqui é EDO linear homogênea de segunda ordem, e usaremos a equação característica para encontrar a solução geral.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada a
y'' + y' = 0
substituindo y=e^{rx}:
r^2 + r = 0
Resolvendo, fatoramos
r(r+1)=0
logo as raízes são
r_1 = 0,\quad r_2 = -1.

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral é
y(x) = C_1 e^{0\cdot x} + C_2 e^{-x} = C_1 + C_2 e^{-x}.
Derivando, obtemos
y'(x) = 0 + (-C_2)e^{-x} = -C_2 e^{-x}.

Passo 4

Aplicando as condições iniciais:
Em x=0,
y(0)=C_1 + C_2 = 1,
y'(0)=-C_2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_2=-1.
Substituindo C_2=-1 em C_1 + C_2=1
C_1 -1=1\quad\Longrightarrow\quad C_1=2.

Resposta

y(x)=2 - e^{-x}.

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