Determine a solução das siguentes edo’s:
\left\{\begin{array}{l}9 y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+y=0 \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
9y'' + 6y' + y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1. Vamos usar o método da equação característica para resolver.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada, trocando y por e^{rx}:
9r^2 + 6r + 1 = 0.

Passo 3

Calculamos o discriminante:
\Delta = 6^2 - 4\cdot9\cdot1 = 36 - 36 = 0.
Como \Delta=0, a raíz é dupla:
r = \frac{-6}{2\cdot9} = -\frac{1}{3}.

Passo 4

Para raíz dupla r=-\tfrac13, a solução geral é
y(x) = (C_1 + C_2 x)\,e^{-x/3}.

Passo 5

Agora usamos as condições iniciais.
Em x=0:
y(0) = (C_1 + C_2\cdot0)\,e^0 = C_1 = 1.
Derivando y(x):
y'(x) = \bigl(C_2 + (C_1 + C_2 x)\,(-\tfrac13)\bigr)\,e^{-x/3} = \Bigl(C_2 - \frac{C_1 + C_2 x}{3}\Bigr)e^{-x/3}.
Em x=0:
y'(0) = \Bigl(C_2 - \frac{C_1}{3}\Bigr)\,e^0 = C_2 - \frac{1}{3} = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}.

Passo 6

Substituindo C_1=1 e C_2=\tfrac{4}{3} na solução geral, obtemos
y(x) = \Bigl(1 + \frac{4}{3}\,x\Bigr)\,e^{-x/3}.

Resposta

y(x) = \Bigl(1 + \tfrac{4}{3}\,x\Bigr)\,e^{-x/3}.

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