Determine a solução das siguentes edo’s: \left\{\begin{array}{l}3 y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+4 y=0 \\\ y(2)=1 \\\ y^{\prime}(2)=1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede a solução da EDO linear homogênea com coeficientes constantes
3\,y'' - 2\,y' + 4\,y = 0
sujeita às condições iniciais y(2)=1 e y'(2)=1.
O método envolve (i) encontrar a equação característica, (ii) escrever a solução geral como combinação de exponenciais (ou funções trigonométricas se as raízes forem complexas) e (iii) ajustar as constantes com as condições iniciais.
Passo 2
Escrevendo a equação característica, substituímos y=e^{r x} e obtemos
3\,r^2 - 2\,r + 4 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-2)^2 - 4\cdot3\cdot4 = 4 - 48 = -44,
logo as raízes são complexas:
r = \frac{2 \pm i\sqrt{44}}{6} = \frac{1}{3} \pm i\,\frac{\sqrt{11}}{3}.
Passo 3
Para raízes r = \alpha \pm i\beta com \alpha=\tfrac{1}{3} e \beta=\tfrac{\sqrt{11}}{3}, a solução geral é
Aplicando x=2\) em \(y\) e \(y'\), obtemos o sistema
\[\begin{cases} e^{\frac{2}{3}}\bigl(C_1\cos(2\beta) + C_2\sin(2\beta)\bigr) = 1,\\[6pt] e^{\frac{2}{3}}\Bigl[\alpha\bigl(C_1\cos(2\beta)+C_2\sin(2\beta)\bigr) +\beta\bigl(-C_1\sin(2\beta)+C_2\cos(2\beta)\bigr)\Bigr] = 1, \end{cases}
onde \alpha=\tfrac{1}{3}\] e \(\beta=\tfrac{\sqrt{11}}{3}.]
Passo 6
Chamando E=e^{2/3}\), \(c=\cos(2\beta)\) e \(s=\sin(2\beta)\), o sistema vira
\[\begin{cases} C_1\,c + C_2\,s = \tfrac{1}{E},\\[4pt] -\,C_1\,s + C_2\,c = \tfrac{2}{\sqrt{11}\,E}. \end{cases}