Determine a solução das siguentes edo’s:
\left\{\begin{array}{l}3 y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+4 y=0 \\\ y(2)=1 \\\ y^{\prime}(2)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução da EDO linear homogênea com coeficientes constantes
3\,y'' - 2\,y' + 4\,y = 0
sujeita às condições iniciais y(2)=1 e y'(2)=1.
O método envolve (i) encontrar a equação característica, (ii) escrever a solução geral como combinação de exponenciais (ou funções trigonométricas se as raízes forem complexas) e (iii) ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Escrevendo a equação característica, substituímos y=e^{r x} e obtemos
3\,r^2 - 2\,r + 4 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-2)^2 - 4\cdot3\cdot4 = 4 - 48 = -44,
logo as raízes são complexas:
r = \frac{2 \pm i\sqrt{44}}{6} = \frac{1}{3} \pm i\,\frac{\sqrt{11}}{3}.

Passo 3

Para raízes r = \alpha \pm i\beta com \alpha=\tfrac{1}{3} e \beta=\tfrac{\sqrt{11}}{3}, a solução geral é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)\bigr).

Passo 4

Precisamos também de y'(x). Derivando,
y'(x) = \alpha e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\bigr) + e^{\alpha x}\bigl(-C_1\beta\sin(\beta x)+C_2\beta\cos(\beta x)\bigr).

Passo 5

Aplicando x=2\) em \(y\) e \(y'\), obtemos o sistema \[\begin{cases} e^{\frac{2}{3}}\bigl(C_1\cos(2\beta) + C_2\sin(2\beta)\bigr) = 1,\\[6pt] e^{\frac{2}{3}}\Bigl[\alpha\bigl(C_1\cos(2\beta)+C_2\sin(2\beta)\bigr) +\beta\bigl(-C_1\sin(2\beta)+C_2\cos(2\beta)\bigr)\Bigr] = 1, \end{cases}
onde \alpha=\tfrac{1}{3}\] e \(\beta=\tfrac{\sqrt{11}}{3}.]

Passo 6

Chamando E=e^{2/3}\), \(c=\cos(2\beta)\) e \(s=\sin(2\beta)\), o sistema vira \[\begin{cases} C_1\,c + C_2\,s = \tfrac{1}{E},\\[4pt] -\,C_1\,s + C_2\,c = \tfrac{2}{\sqrt{11}\,E}. \end{cases}
Invertendo a matriz de rotação, achamos
C_1 = \frac{c - \tfrac{2}{\sqrt{11}}\,s}{E}, \qquad C_2 = \frac{s + \tfrac{2}{\sqrt{11}}\,c}{E}.
Substituindo em y(x)=e^{x/3}(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x))\] e factorizando \(e^{-2/3}, obtém-se a solução particular.]

Resposta

y(x) = e^{\frac{x-2}{3}}\Biggl[\Bigl(\cos\!\bigl(\tfrac{2\sqrt{11}}{3}\bigr) -\tfrac{2}{\sqrt{11}}\sin\!\bigl(\tfrac{2\sqrt{11}}{3}\bigr)\Bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{11}}{3}x\bigr) +\Bigl(\sin\!\bigl(\tfrac{2\sqrt{11}}{3}\bigr) +\tfrac{2}{\sqrt{11}}\cos\!\bigl(\tfrac{2\sqrt{11}}{3}\bigr)\Bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{11}}{3}x\bigr)\Biggr].

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