Determine as soluções, constantes e não constantes, das equações abaixo:
d yd x=y^2+1x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções, constantes e não constantes, da equação diferencial
dydx = y^2 + 1x
Este é um problema de equação de primeira ordem, separável. Vamos separar as variáveis x e y para integrar.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
dyy^2+1 = dxx
Aqui isolamos os termos em y à esquerda e os termos em x à direita.

Passo 3

Integre ambos os lados:
integral dyy^2+1 = integral dxx
Usando integral dy/(y^2+1)=arctan(y) e integral dx/x=lnlvert xrvert,+C, obtemos
arctan(y) = lnlvert xrvert + C

Passo 4

Aplique a tangente para isolar y:
y(x) = tanl(lnlvert xrvert + Cr),
onde C é a constante de integração. Estas são todas as soluções não constantes definidas para xneq0.

Passo 5

Para verificar soluções constantes, imponha dy/dx=0. Da equação original isso dá
y^2+1=0 Longrightarrow y=pm i
Portanto não existem soluções constantes reais. Em valor complexo, as soluções constantes são y= i e y=-,i.

Resposta

Soluções não constantes (reais):
y(x) = tanl(lnlvert xrvert + Cr), CinR
Soluções constantes reais: nenhuma.
Soluções constantes complexas: y=pm i.

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