Resolva pelo método matricial (dos autovalores e autovetores). Descreva o comportamento das soluções quando
. Verifique se a solução
é ponto de equilíbrio estável ou instável, verificando se é sela, nó, foco (espiral) ou centro. Faça um esboço da família das soluções:
Passo 1
Temos o sistema linear
que escrevemos em forma matricial como
O objetivo é encontrar os autovalores e autovetores de
, construir a solução geral, analisar
, classificar a origem e esboçar o campo de direções.]
Passo 2
Calculemos o polinômio característico de
:
Portanto
e os autovalores são
]
Passo 3
Encontramos agora os autovetores:
Para
daí obtemos
Para
, resolvemos
:
Escolhendo
dá
]
Passo 4
A solução geral do sistema é combinação linear dos modos próprios:
onde
são determinados pelas condições iniciais.
Passo 5
Quando
, o termo
tende a zero e sobra
Isso significa que cada trajetória vai colidir (em tempo infinito) com a reta de pontos de equilíbrio
. Se
, a solução tende à origem; caso contrário, tende a um ponto fixo não nulo.
Passo 6
Os autovalores são
e
. Como há um autovalor nulo, a origem não é hiperbólica e não se enquadra nas categorias nó, sela, foco ou centro. Em termos de estabilidade, a origem é Lyapunov–estável (soluções que começam perto permanecem perto) mas não assintoticamente estável (não há atração para a origem a menos que
). Trata-se de um caso degenerado, com uma reta de equilíbrios.
Resposta
Solução geral:
Para
,
.
A origem é ponto de equilíbrio não hiperbólico, Lyapunov–estável mas não assintoticamente estável, correspondendo a um caso degenerado com reta de equilíbrios.
Esboço do campo de direções: curvas que partem de um ponto e, à medida que
cresce, aproximam-se da reta de direção
exponencialmente ao longo de
.
A origem é ponto de equilíbrio não hiperbólico, Lyapunov–estável mas não assintoticamente estável, correspondendo a um caso degenerado com reta de equilíbrios.
Esboço do campo de direções: curvas que partem de um ponto