Resolva pelo método matricial (dos autovalores e autovetores). Descreva o comportamento das soluções quando t longrightarrow+infty. Verifique se a solução x(t)=(x1(t), x2(t))=(0,0) é ponto de equilíbrio estável ou instável, verificando se é sela, nó, foco (espiral) ou centro. Faça um esboço da família das soluções:
l x1^prime=4 x1-3 x2 x2^prime=8 x1-6 x2

Passo 1

Temos o sistema linear
x1' = 4,x1 - 3,x2, x2' = 8,x1 - 6,x2,
que escrevemos em forma matricial como
vec x' = A,vec x, A = 4 & -3[6pt]8 & -6
O objetivo é encontrar os autovalores e autovetores de A, construir a solução geral, analisar tto+infty, classificar a origem e esboçar o campo de direções.]

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det4-lambda & -3[3pt]8 & -6-lambda = (4-lambda)(-6-lambda) - (-3)cdot 8 = -24 -4lambda +6lambda +lambda^2 +24 = lambda^2 +2lambda
Portanto
lambda^2 +2lambda = lambda(lambda+2)=0
e os autovalores são
lambda1=0, lambda2=-2
]

Passo 3

Encontramos agora os autovetores:
Para
daí obtemos
Para , resolvemos :
Escolhendo
]

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear dos modos próprios:
vec x(t) = C1,v^(1) + C2,e^-2t,v^(2) = C134 + C2,e^-2t12,
onde C1,C2 são determinados pelas condições iniciais.

Passo 5

Quando tto+infty, o termo e^-2t tende a zero e sobra
vec x(t)longrightarrow C134
Isso significa que cada trajetória vai colidir (em tempo infinito) com a reta de pontos de equilíbrio alpha(3,4)mid alphainR. Se C1=0, a solução tende à origem; caso contrário, tende a um ponto fixo não nulo.

Passo 6

Os autovalores são lambda1=0 e lambda2=-2. Como há um autovalor nulo, a origem não é hiperbólica e não se enquadra nas categorias nó, sela, foco ou centro. Em termos de estabilidade, a origem é Lyapunov–estável (soluções que começam perto permanecem perto) mas não assintoticamente estável (não há atração para a origem a menos que C1=0). Trata-se de um caso degenerado, com uma reta de equilíbrios.

Resposta

Solução geral:
vec x(t) = C134 + C2,e^-2t12
Para tto+infty, vec x(t)to C1(3,4).
A origem é ponto de equilíbrio não hiperbólico, Lyapunov–estável mas não assintoticamente estável, correspondendo a um caso degenerado com reta de equilíbrios.
Esboço do campo de direções: curvas que partem de um ponto alpha(3,4)+beta(1,2) e, à medida que t cresce, aproximam-se da reta de direção (3,4) exponencialmente ao longo de (1,2).

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