Determine as soluções das Equações diferenciais abaixo: y^{\prime}=\frac{x^{2}}{1-y^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar as soluções da equação diferencial
y'=\frac{x^{2}}{1-y^{2}}.
Dados relevantes: a incógnita é a função y(x); a derivada y' é \dfrac{dy}{dx}; o lado direito é uma função de x e y que tem singularidades quando 1-y^{2}=0, ou seja, em y=\pm 1. Não resolvo nada ainda — apenas identifiquei o que é pedido e as informações úteis do enunciado.
Passo 2
Observação sobre método: esta equação é separável porque o lado direito pode ser escrito como função de x multiplicada por função de y. Em problemas assim o passo padrão é “separar variáveis” colocando todos os termos com y e dy num lado e os termos com x e dx no outro. Faço isso agora:
y'=\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{1-y^{2}}
Multiplico ambos os lados por (1-y^{2})\,dx para separar:
(1-y^{2})\,dy = x^{2}\,dx.
Passo 3
Agora integro ambos os lados. Vou explicar cada integral com calma.
A integral do lado esquerdo é
\int (1-y^{2})\,dy = \int 1\,dy - \int y^{2}\,dy.
\int 1\,dy = y porque a primitiva de 1 em relação a y é y.
\int y^{2}\,dy = \dfrac{y^{3}}{3} pela regra de potência \int y^{n}\,dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1} (válida para n\neq -1).
Logo
\int (1-y^{2})\,dy = y - \frac{y^{3}}{3}.
A integral do lado direito é
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Ao integrar ambos os lados devemos adicionar uma constante de integração; é suficiente colocar uma constante só no final (diferença entre constantes dos dois lados dá outra constante). Assim obtemos
y - \frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é uma constante real arbitrária.
Passo 4
Para simplificar a aparência, multiplico a igualdade por 3:
3y - y^{3} = x^{3} + C_{1},
onde C_{1}=3C é outra constante arbitrária. Esta forma é uma forma implícita da família de soluções: cada valor de C_{1} dá uma curva solução.
Portanto uma forma conveniente da solução geral implícita é
\boxed{\,3y - y^{3} = x^{3} + C\,}
(com C constante real).
Passo 5
Comentário sobre as singularidades e soluções constantes: a equação original tem denominador 1-y^{2}, logo y=\pm 1 fazem o lado direito explodir (divisão por zero). Assim as funções constantes y(x)\equiv 1 e y(x)\equiv -1 não satisfazem a equação (pois o lado direito não está definido). Em particular, nenhuma solução contínua pode atravessar a linha y=\pm 1 no plano x\!-\!y: soluções são definidas em intervalos onde y(x) permanece estritamente entre -1 e 1 ou estritamente fora desse intervalo, dependendo da constante C.
Passo 6
Se quiser uma expressão explícita para y em termos de x, dá para usar uma substituição trigonométrica elegante. Note a identidade trigonométrica de tripla-ângulo:
válida quando \left|\dfrac{x^{3}+C}{2}\right|\le 1 (caso contrário \arcsin na forma real não é aplicável; a forma implícita continua válida e descreve a solução real). Essa forma com os termos \dfrac{2\pi k}{3} cobre as diferentes raízes reais da cúbica que surge ao isolar y.
Passo 7
Dica prática para a prova: faça separação de variáveis rapidamente, integre cada lado (não esqueça da constante) e deixe a solução em forma implícita se a forma explícita em y ficar complicada. Se precisar da forma explícita, a substituição y=2\sin\theta é uma boa sacada que transforma a cúbica em função trigonométrica simples.