Determine as soluções das Equações diferenciais abaixo:
y^{\prime}=\frac{x^{2}}{1-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar as soluções da equação diferencial
y'=\frac{x^{2}}{1-y^{2}}.
Dados relevantes: a incógnita é a função y(x); a derivada y' é \dfrac{dy}{dx}; o lado direito é uma função de x e y que tem singularidades quando 1-y^{2}=0, ou seja, em y=\pm 1. Não resolvo nada ainda — apenas identifiquei o que é pedido e as informações úteis do enunciado.

Passo 2

Observação sobre método: esta equação é separável porque o lado direito pode ser escrito como função de x multiplicada por função de y. Em problemas assim o passo padrão é “separar variáveis” colocando todos os termos com y e dy num lado e os termos com x e dx no outro. Faço isso agora:
y'=\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{1-y^{2}}
Multiplico ambos os lados por (1-y^{2})\,dx para separar:
(1-y^{2})\,dy = x^{2}\,dx.

Passo 3

Agora integro ambos os lados. Vou explicar cada integral com calma.
A integral do lado esquerdo é
\int (1-y^{2})\,dy = \int 1\,dy - \int y^{2}\,dy.
  • \int 1\,dy = y porque a primitiva de 1 em relação a y é y.
  • \int y^{2}\,dy = \dfrac{y^{3}}{3} pela regra de potência \int y^{n}\,dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1} (válida para n\neq -1).
Logo
\int (1-y^{2})\,dy = y - \frac{y^{3}}{3}.
A integral do lado direito é
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Ao integrar ambos os lados devemos adicionar uma constante de integração; é suficiente colocar uma constante só no final (diferença entre constantes dos dois lados dá outra constante). Assim obtemos
y - \frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 4

Para simplificar a aparência, multiplico a igualdade por 3:
3y - y^{3} = x^{3} + C_{1},
onde C_{1}=3C é outra constante arbitrária. Esta forma é uma forma implícita da família de soluções: cada valor de C_{1} dá uma curva solução.
Portanto uma forma conveniente da solução geral implícita é
\boxed{\,3y - y^{3} = x^{3} + C\,}
(com C constante real).

Passo 5

Comentário sobre as singularidades e soluções constantes: a equação original tem denominador 1-y^{2}, logo y=\pm 1 fazem o lado direito explodir (divisão por zero). Assim as funções constantes y(x)\equiv 1 e y(x)\equiv -1 não satisfazem a equação (pois o lado direito não está definido). Em particular, nenhuma solução contínua pode atravessar a linha y=\pm 1 no plano x\!-\!y: soluções são definidas em intervalos onde y(x) permanece estritamente entre -1 e 1 ou estritamente fora desse intervalo, dependendo da constante C.

Passo 6

Se quiser uma expressão explícita para y em termos de x, dá para usar uma substituição trigonométrica elegante. Note a identidade trigonométrica de tripla-ângulo:
\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^{3}\theta.
Se escolher y=2\sin\theta então
3y - y^{3} = 3(2\sin\theta) - (2\sin\theta)^{3} = 6\sin\theta - 8\sin^{3}\theta = 2(3\sin\theta - 4\sin^{3}\theta) = 2\sin 3\theta.
Usando isso na solução implícita 3y-y^{3}=x^{3}+C obtemos
2\sin 3\theta = x^{3} + C.
Logo
\sin 3\theta = \frac{x^{3}+C}{2}.
Tomando arco seno (e lembrando das várias ramificações possíveis do arco seno), uma forma explícita conveniente é
\theta = \frac{1}{3}\left(\arcsin\!\bigg(\frac{x^{3}+C}{2}\bigg) + 2\pi k\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.
Voltando a y=2\sin\theta obtemos a família de soluções explícitas
y(x)=2\sin\!\left(\frac{1}{3}\arcsin\!\bigg(\frac{x^{3}+C}{2}\bigg)+\frac{2\pi k}{3}\right),\qquad k\in\mathbb{Z},
válida quando \left|\dfrac{x^{3}+C}{2}\right|\le 1 (caso contrário \arcsin na forma real não é aplicável; a forma implícita continua válida e descreve a solução real). Essa forma com os termos \dfrac{2\pi k}{3} cobre as diferentes raízes reais da cúbica que surge ao isolar y.

Passo 7

Dica prática para a prova: faça separação de variáveis rapidamente, integre cada lado (não esqueça da constante) e deixe a solução em forma implícita se a forma explícita em y ficar complicada. Se precisar da forma explícita, a substituição y=2\sin\theta é uma boa sacada que transforma a cúbica em função trigonométrica simples.

Resposta

3y - y^{3} = x^{3} + C
y(x)=2\sin\!\left(\frac{1}{3}\arcsin\!\bigg(\frac{x^{3}+C}{2}\bigg)+\frac{2\pi k}{3}\right),\qquad k\in\mathbb{Z},\\ \text{com}\\ \left|\frac{x^{3}+C}{2}\right|\le 1

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