Exercício 5
Calcule \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} fazendo: (a) a substituição x=a \operatorname{sec} \theta; (b) a substituição x=a \operatorname{cosh} t.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:\n
Pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} de duas maneiras: (a) usando a substituição x=a\operatorname{sec}\theta; (b) usando a substituição x=a\operatorname{cosh} t.\n
Informação implícita: normalmente assume-se a>0 e x tal que o radicando seja não negativo (ou seja, |x|\ge a). Vou explicitar as condições de sinal quando necessário.\n
Resumo das tarefas: aplicar cada substituição, transformar a integral em uma integral mais simples, integrar, e retornar à variável x. A cada passo vou explicar as identidades e regras usadas.
Passo 2
Ideia da substituição trigonométrica e escolha de x=a\operatorname{sec}\theta:\n
Por que essa substituição? Porque a identidade trigonométrica \operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta faz com que a raiz \sqrt{x^{2}-a^{2}} vire algo simples em \theta.\n
Vamos tomar
x = a\operatorname{sec}\theta.
Para essa escolha devemos garantir \operatorname{sec}\theta definido e |\operatorname{sec}\theta|\ge1, o que corresponde a |x|\ge a como exigido pelo radicando. Em muitas aplicações escolhemos \theta com \operatorname{sec}\theta\ge1 e \tan\theta\ge0 para simplificar os sinais, mas no final colocaremos valores absolutos quando necessário.
Passo 3
Calcular dx e a raiz com a substituição trigonométrica:\n
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} = \ln\!\left|\frac{x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}\right| + C.
Absorvendo o termo constante -\ln|a| em C, obtemos a forma mais usual
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} = \ln\big|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\big| + C.
Passo 7
Agora a substituição hiperbólica: por que x=a\operatorname{cosh} t?\n
A identidade hiperbólica \operatorname{cosh}^{2}t-1=\operatorname{sinh}^{2}t é análoga à trigonométrica usada antes, e transforma a raiz em algo simples. A substituição hiperbólica costuma ser ainda mais direta porque \operatorname{cosh} t\ge1 para todo t, então x=a\operatorname{cosh} t já garante |x|\ge a (para a>0 e x\ge a).
Passo 8
Calcular dx e a raiz com a substituição hiperbólica:\n
Como \operatorname{sinh} t pode ser positivo ou negativo, escolhemos o ramo apropriado (para x\ge a normalmente tomamos t\ge0 e \operatorname{sinh} t\ge0, então |\operatorname{sinh} t|=\operatorname{sinh} t).
Passo 9
Transformar a integral com a substituição hiperbólica e integrar:\n
Substituindo,
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} = \int \frac{a\operatorname{sinh} t\,dt}{a\operatorname{sinh} t} = \int dt = t + C.
Muito direto: a integral reduz-se a t mais constante.
Passo 10
Voltar para a variável x na solução hiperbólica e ligar com a forma logarítmica:\n
Da substituição x=a\operatorname{cosh} t obtemos
\operatorname{cosh} t = \frac{x}{a}\quad\Rightarrow\quad t=\operatorname{arcosh}\!\left(\frac{x}{a}\right).
Fórmula útil: \displaystyle \operatorname{arcosh}u=\ln\!\big(u+\sqrt{u^{2}-1}\big). Aplicando com u=\dfrac{x}{a},