Exercício 5
Calcule \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} fazendo: (a) a substituição x=a \operatorname{sec} \theta; (b) a substituição x=a \operatorname{cosh} t.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:\n
  • Pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} de duas maneiras: (a) usando a substituição x=a\operatorname{sec}\theta; (b) usando a substituição x=a\operatorname{cosh} t.\n
  • Informação implícita: normalmente assume-se a>0 e x tal que o radicando seja não negativo (ou seja, |x|\ge a). Vou explicitar as condições de sinal quando necessário.\n
  • Resumo das tarefas: aplicar cada substituição, transformar a integral em uma integral mais simples, integrar, e retornar à variável x. A cada passo vou explicar as identidades e regras usadas.

Passo 2

Ideia da substituição trigonométrica e escolha de x=a\operatorname{sec}\theta:\n
  • Por que essa substituição? Porque a identidade trigonométrica \operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta faz com que a raiz \sqrt{x^{2}-a^{2}} vire algo simples em \theta.\n
  • Vamos tomar
x = a\operatorname{sec}\theta.
Para essa escolha devemos garantir \operatorname{sec}\theta definido e |\operatorname{sec}\theta|\ge1, o que corresponde a |x|\ge a como exigido pelo radicando. Em muitas aplicações escolhemos \theta com \operatorname{sec}\theta\ge1 e \tan\theta\ge0 para simplificar os sinais, mas no final colocaremos valores absolutos quando necessário.

Passo 3

Calcular dx e a raiz com a substituição trigonométrica:\n
  • Diferenciando x=a\operatorname{sec}\theta obtemos
dx = a\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
  • Agora a raiz:
\sqrt{x^{2}-a^{2}}=\sqrt{a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta-a^{2}}=a\sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta-1}=a|\tan\theta|.
Se tomarmos o ramo com \tan\theta\ge0 então |\tan\theta|=\tan\theta, e mais adiante incluiremos módulo se necessário.

Passo 4

Transformar a integral com a substituição x=a\operatorname{sec}\theta:\n
  • Substituindo dx e a raiz na integral,
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} = \int \frac{a\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta}{a\tan\theta} = \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta,
onde simplificamos a e \tan\theta (assumindo \tan\theta\neq0, caso em que a integral é tratada por continuidade).

Passo 5

Integrar \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta e explicar o truque:\n
  • Uma maneira clássica de integrar \operatorname{sec}\theta é usar a primitiva
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big| + C.
  • Justificação rápida: derivando \ln(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta) obtemos
\frac{d}{d\theta}\ln(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta) = \frac{\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\operatorname{sec}^{2}\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta} = \frac{\operatorname{sec}\theta(\tan\theta+\operatorname{sec}\theta)}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}=\operatorname{sec}\theta,
logo a fórmula está correta.

Passo 6

Voltar para a variável x na solução obtida com trig:\n
  • Temos \operatorname{sec}\theta = \dfrac{x}{a} e \tan\theta = \dfrac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a} (a raiz positiva corresponde ao ramo escolhido). Então
\ln\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big| = \ln\!\left|\frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}\right| = \ln\!\left|\frac{x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}\right|.
  • Isso dá
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} = \ln\!\left|\frac{x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}\right| + C.
  • Absorvendo o termo constante -\ln|a| em C, obtemos a forma mais usual
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} = \ln\big|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\big| + C.

Passo 7

Agora a substituição hiperbólica: por que x=a\operatorname{cosh} t?\n
  • A identidade hiperbólica \operatorname{cosh}^{2}t-1=\operatorname{sinh}^{2}t é análoga à trigonométrica usada antes, e transforma a raiz em algo simples. A substituição hiperbólica costuma ser ainda mais direta porque \operatorname{cosh} t\ge1 para todo t, então x=a\operatorname{cosh} t já garante |x|\ge a (para a>0 e x\ge a).

Passo 8

Calcular dx e a raiz com a substituição hiperbólica:\n
  • Tomando
x = a\operatorname{cosh} t,
diferenciando obtemos
dx = a\operatorname{sinh} t\,dt.
  • A raiz vira
\sqrt{x^{2}-a^{2}}=\sqrt{a^{2}\operatorname{cosh}^{2}t-a^{2}}=a\sqrt{\operatorname{cosh}^{2}t-1}=a|\operatorname{sinh} t|.
Como \operatorname{sinh} t pode ser positivo ou negativo, escolhemos o ramo apropriado (para x\ge a normalmente tomamos t\ge0 e \operatorname{sinh} t\ge0, então |\operatorname{sinh} t|=\operatorname{sinh} t).

Passo 9

Transformar a integral com a substituição hiperbólica e integrar:\n
  • Substituindo,
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} = \int \frac{a\operatorname{sinh} t\,dt}{a\operatorname{sinh} t} = \int dt = t + C.
  • Muito direto: a integral reduz-se a t mais constante.

Passo 10

Voltar para a variável x na solução hiperbólica e ligar com a forma logarítmica:\n
  • Da substituição x=a\operatorname{cosh} t obtemos
\operatorname{cosh} t = \frac{x}{a}\quad\Rightarrow\quad t=\operatorname{arcosh}\!\left(\frac{x}{a}\right).
  • Fórmula útil: \displaystyle \operatorname{arcosh}u=\ln\!\big(u+\sqrt{u^{2}-1}\big). Aplicando com u=\dfrac{x}{a},
t=\ln\!\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\left(\frac{x}{a}\right)^{2}-1}\right) =\ln\!\left(\frac{x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}\right).
  • Assim a primitiva fica
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=t+C=\operatorname{arcosh}\!\left(\frac{x}{a}\right)+C,
o que é equivalente, até constante aditiva, a \ln\big|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\big|+C.

Resposta

(a) \displaystyle \ln\big|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\big|+C\n
(b) \displaystyle \operatorname{arcosh}\!\left(\frac{x}{a}\right)+C (equivalente a \displaystyle \ln\!\left(\frac{x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}\right)+C).

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