determine as soluções das equações diferenciais
2 x^{2} y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}-2=0, onde x>0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as soluções da equação diferencial
2 x^{2} y'' + 4 x y' - 2 = 0,
onde x>0.
Informações relevantes fornecidas:
  • É uma equação diferencial de segunda ordem em y(x).
  • A incógnita é y função de x; as derivadas aparecem y' e y''.
  • O domínio x>0 garante que podemos usar \ln x sem problemas e que x não é zero.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (ou soluções, com constantes arbitrárias).

Passo 2

Primeiro simplifico a equação dividindo tudo por 2 (permitido porque 2\neq 0):
x^{2} y'' + 2 x y' - 1 = 0.
Agora observo uma identidade útil: a derivada de x^{2}y' em relação a x é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y'\bigr) = x^{2}y'' + 2x y'.
Portanto a equação pode ser reescrita como
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y'\bigr) = 1.
Essa reescrita reduz a ordem da equação porque transformamos a combinação de y'' e y' numa derivada total.

Passo 3

Integro ambos os lados em relação a x. À esquerda a integral da derivada recupera a função; à direita a integral de 1 é x mais constante:
x^{2} y' = \int 1\,dx = x + C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração. Esse passo reduz a equação à primeira ordem.

Passo 4

Isolo y':
y' = \frac{x + C_{1}}{x^{2}} = \frac{1}{x} + \frac{C_{1}}{x^{2}}.
Aqui apenas dividi cada termo por x^{2}. Note que usamos x>0 para garantir que não estamos dividindo por zero.

Passo 5

Agora integro novamente para obter y. Integro termo a termo:
y = \int\left(\frac{1}{x} + \frac{C_{1}}{x^{2}}\right)dx.
Sabendo que \int \frac{1}{x}dx = \ln x (válido porque x>0) e \int x^{-2}dx = -x^{-1}, obtemos
y = \ln x - \frac{C_{1}}{x} + C_{2},
onde C_{2} é uma segunda constante de integração.

Passo 6

Podemos renomear as constantes para ficar com a forma padrão da solução geral. Seja A = -C_{1} e B = C_{2}. Então a solução geral pode ser escrita como
y(x) = \ln x + \frac{A}{x} + B,
onde A e B são constantes reais arbitrárias. Essa é a família completa de soluções, definida para x>0.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil para confiança): tomo y=\ln x + \dfrac{A}{x}+B. Então
y' = \frac{1}{x} - \frac{A}{x^{2}},\qquad y'' = -\frac{1}{x^{2}} + \frac{2A}{x^{3}}.
Substituindo em 2x^{2}y''+4x y' -2:
2x^{2}\Bigl(-\frac{1}{x^{2}}+\frac{2A}{x^{3}}\Bigr) + 4x\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{A}{x^{2}}\Bigr) -2 = 2(-1+\tfrac{2A}{x}) + 4(1-\tfrac{A}{x}) -2 = 0.
As dependências em A/x se cancelam e o restante também cancela, confirmando que a solução encontrada satisfaz a equação.

Resposta

y(x)=\ln x+\frac{C_{1}}{x}+C_{2},\quad C_{1},C_{2}\in\mathbb{R},\;x>0.

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