determine as soluções das equações diferenciais
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as soluções da equação diferencial
onde
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- É uma equação diferencial de segunda ordem em
. - A incógnita é
função de ; as derivadas aparecem e . - O domínio
garante que podemos usar sem problemas e que não é zero. - O objetivo é encontrar a solução geral
(ou soluções, com constantes arbitrárias).
Passo 2
Primeiro simplifico a equação dividindo tudo por
(permitido porque
):
Agora observo uma identidade útil: a derivada de
em relação a
é
Portanto a equação pode ser reescrita como
Essa reescrita reduz a ordem da equação porque transformamos a combinação de
e
numa derivada total.
Passo 3
Integro ambos os lados em relação a
. À esquerda a integral da derivada recupera a função; à direita a integral de
é
mais constante:
onde
é uma constante de integração. Esse passo reduz a equação à primeira ordem.
Passo 4
Isolo
:
Aqui apenas dividi cada termo por
. Note que usamos
para garantir que não estamos dividindo por zero.
Passo 5
Agora integro novamente para obter
. Integro termo a termo:
Sabendo que
(válido porque
) e
, obtemos
onde
é uma segunda constante de integração.
Passo 6
Podemos renomear as constantes para ficar com a forma padrão da solução geral. Seja
e
. Então a solução geral pode ser escrita como
onde
e
são constantes reais arbitrárias. Essa é a família completa de soluções, definida para
.
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil para confiança): tomo
. Então
Substituindo em
:
As dependências em
se cancelam e o restante também cancela, confirmando que a solução encontrada satisfaz a equação.