(3 pontos) Considere a situação em que se tem um indutor de 0,125 Henry, um resistor de 2 Ohms e um capacitor de
F (Faraday).
a) Analise o caso homogêneo da equação diferencial associada ao sistema e determine a solução do mesmo.
b) Supondo que
e
determine a solução do PVI associado.
a) Analise o caso homogêneo da equação diferencial associada ao sistema e determine a solução do mesmo.
b) Supondo que
Passo 1
O enunciado dá um circuito RLC com as seguintes informações (tudo constante no tempo):
Pede-se:
a) analisar o caso homogêneo da equação diferencial associada ao sistema e determinar a solução geral (ou seja, a solução do homogêneo);
b) supondo as condições iniciais e
, determinar a solução do problema de valor inicial (PVI).
a) analisar o caso homogêneo da equação diferencial associada ao sistema e determinar a solução geral (ou seja, a solução do homogêneo);
b) supondo as condições iniciais
Passo 2
Vamos escrever a equação diferencial homogênea associada ao circuito (a parte teórica curta e prática que você deve saber na prova): para a carga
num circuito série RLC a equação é
Aqui
é a segunda derivada de
em relação ao tempo (aceleração da carga),
é a primeira derivada (corrente),
é a indutância,
a resistência e
a capacitância. Agora substituímos os valores dados:
porque
.
Passo 3
É mais limpo eliminar a fração decimal multiplicando a equação por
(isso é apenas uma simplificação algébrica válida):
Para resolver equações lineares homogêneas com coeficientes constantes usamos a equação característica. Assumimos solução
e obtemos:
Agora resolvemos essa equação quadrática. O discriminante é
Como
, as raízes são complexas conjugadas; вычисamos a raiz quadrada:
Portanto as raízes são
Passo 4
Explico a regra usada para transformar raízes complexas em solução real: se as raízes da característica são
, então a solução geral real do homogêneo é
onde
são constantes determinadas por condições iniciais; aqui
é a taxa de decaimento (parte real) e
é a frequência angular amortecida (parte imaginária em valor absoluto). No nosso caso
e
. Logo a solução geral do homogêneo é
onde usei
e
para os constantes arbitrárias (mesma ideia de
).
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais do item (b). Primeiro escrevo
geral igual ao
(não há forçamento, é o homogêneo):
Usamos
. Substituindo
:
Logo
Passo 6
Calculamos a derivada
para aplicar
. Derivando produto
usando regra do produto:
Isso dá (fazendo as derivadas):
Organizando termos em
e
:
Agora
e lembrando
:
Já obtivemos
, então
A condição
implica
. Como
, segue que
Passo 7
Como
e
, a solução que satisfaz as duas condições iniciais é a solução trivial
Comentário físico rápido e motivador: isso significa que, com carga e corrente iniciais nulas e sem fonte externa, o circuito permanece sem energia — lógico. A solução geral (item a) mostra que, se houvesse condições iniciais diferentes, teríamos oscilação amortecida com decaimento exponencial
e frequência angular
.
Resposta
(a)
.\n(b)
.