(3 pontos) Considere a situação em que se tem um indutor de 0,125 Henry, um resistor de 2 Ohms e um capacitor de \frac{1}{24} F (Faraday).
a) Analise o caso homogêneo da equação diferencial associada ao sistema e determine a solução do mesmo.
b) Supondo que q(0)=0 e q^{\prime}(0)=0 determine a solução do PVI associado.

Passo 1

O enunciado dá um circuito RLC com as seguintes informações (tudo constante no tempo):
L=0{,}125\\ \text{H},\qquad R=2\\ \Omega,\qquad C=\frac{1}{24}\\ \text{F}.
Pede-se:
a) analisar o caso homogêneo da equação diferencial associada ao sistema e determinar a solução geral (ou seja, a solução do homogêneo);
b) supondo as condições iniciais \,q(0)=0 e \,q'(0)=0, determinar a solução do problema de valor inicial (PVI).

Passo 2

Vamos escrever a equação diferencial homogênea associada ao circuito (a parte teórica curta e prática que você deve saber na prova): para a carga q(t) num circuito série RLC a equação é
L\,q''(t)+R\,q'(t)+\frac{1}{C}\,q(t)=0.
Aqui q'' é a segunda derivada de q em relação ao tempo (aceleração da carga), q' é a primeira derivada (corrente), L é a indutância, R a resistência e C a capacitância. Agora substituímos os valores dados:
0{,}125\,q''(t)+2\,q'(t)+24\,q(t)=0,
porque \frac{1}{C}=\frac{1}{1/24}=24.

Passo 3

É mais limpo eliminar a fração decimal multiplicando a equação por 8 (isso é apenas uma simplificação algébrica válida):
8\cdot(0{,}125\,q''+2\,q'+24\,q)=0 \quad\Rightarrow\quad q''(t)+16\,q'(t)+192\,q(t)=0.
Para resolver equações lineares homogêneas com coeficientes constantes usamos a equação característica. Assumimos solução q(t)=e^{rt} e obtemos:
r^2+16r+192=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. O discriminante é
\Delta=16^2-4\cdot192=256-768=-512.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas; вычисamos a raiz quadrada:
\sqrt{-512}=i\sqrt{512}=i\sqrt{256\cdot2}=i\cdot16\sqrt{2}.
Portanto as raízes são
r=\frac{-16\pm i\,16\sqrt{2}}{2}=-8\pm i\,8\sqrt{2}.

Passo 4

Explico a regra usada para transformar raízes complexas em solução real: se as raízes da característica são \,r=\alpha\pm i\omega, então a solução geral real do homogêneo é
q_h(t)=e^{\alpha t}\big(C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)\big),
onde C_{1},C_{2} são constantes determinadas por condições iniciais; aqui \alpha é a taxa de decaimento (parte real) e \omega é a frequência angular amortecida (parte imaginária em valor absoluto). No nosso caso \alpha=-8 e \omega=8\sqrt{2}. Logo a solução geral do homogêneo é
q_h(t)=e^{-8t}\big(A\cos(8\sqrt{2}\,t)+B\sin(8\sqrt{2}\,t)\big),
onde usei A e B para os constantes arbitrárias (mesma ideia de C_1,C_2).

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais do item (b). Primeiro escrevo q(t) geral igual ao q_h(t) (não há forçamento, é o homogêneo):
q(t)=e^{-8t}\big(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)\big),\qquad \omega=8\sqrt{2}.
Usamos \,q(0)=0. Substituindo t=0:
q(0)=e^{0}\big(A\cos 0 + B\sin 0\big)=A\cdot1 + B\cdot0 = A.
Logo
A=0.

Passo 6

Calculamos a derivada q'(t) para aplicar \,q'(0)=0. Derivando produto e^{-8t}\cdot(\cdots) usando regra do produto:
q'(t)=\frac{d}{dt}\big(e^{-8t}\big)\big(A\cos\omega t+B\sin\omega t\big)+e^{-8t}\frac{d}{dt}\big(A\cos\omega t+B\sin\omega t\big).
Isso dá (fazendo as derivadas):
q'(t)=e^{-8t}\Big(-8(A\cos\omega t+B\sin\omega t)+(-A\omega\sin\omega t+B\omega\cos\omega t)\Big).
Organizando termos em \cos e \sin:
q'(t)=e^{-8t}\Big[(-8A+B\omega)\cos\omega t +(-8B-A\omega)\sin\omega t\Big].
Agora t=0 e lembrando \cos0=1,\\ \sin0=0:
q'(0)=(-8A+B\omega).
Já obtivemos A=0, então
q'(0)=B\omega.
A condição q'(0)=0 implica B\omega=0. Como \omega=8\sqrt{2}\neq0, segue que
B=0.

Passo 7

Como A=0 e B=0, a solução que satisfaz as duas condições iniciais é a solução trivial
q(t)\equiv0\quad\text{para todo }t\ge0.
Comentário físico rápido e motivador: isso significa que, com carga e corrente iniciais nulas e sem fonte externa, o circuito permanece sem energia — lógico. A solução geral (item a) mostra que, se houvesse condições iniciais diferentes, teríamos oscilação amortecida com decaimento exponencial e^{-8t} e frequência angular \omega=8\sqrt{2}.

Resposta

(a) q_h(t)=e^{-8t}\big(A\cos(8\sqrt{2}\,t)+B\sin(8\sqrt{2}\,t)\big).\n(b) q(t)\equiv0.

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