Determine as soluçōes dos exercícios (a), (b) e (d) que passam pelo ponto 1,1:
(x+y) dx + x dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as soluções da equação diferencial que passam pelo ponto 1,1. Então, vamos trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem e usar um pouco de cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos: . Isso é uma equação diferencial que relaciona as variáveis x e y. Nosso objetivo é encontrar uma função y(x) que satisfaça essa equação e passe pelo ponto 1,1.

Passo 3

Vamos reescrever a equação para facilitar a resolução. Podemos dividir tudo por para transformar em uma forma mais familiar:
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, isolamos :
Podemos simplificar isso dividindo cada termo no numerador por x:

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, e .

Passo 6

Para resolver esse tipo de equação, usamos um fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante x:

Passo 8

Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto x y:

Passo 9

Integramos ambos os lados em relação a x:
Isso resulta em:
onde C é a constante de integração.

Passo 10

Agora, resolvemos para y:

Passo 11

Usamos a condição inicial que a solução passa pelo ponto 1,1. Substituímos x = 1 e na equação:
Isso dá:

Passo 12

Substituímos o valor de C de volta na equação geral:
Podemos simplificar:

Resposta

A solução que passa pelo ponto 1,1 é:

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