Encontre todos os pontos de interseção das curvas dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão de encontrar todos os pontos onde as duas curvas se cruzam. As curvas que temos são dadas por:
e
Estamos lidando com equações em coordenadas polares, que envolvem
(a distância do ponto à origem) e
(o ângulo em relação ao eixo positivo
). Para encontrar os pontos de interseção, precisamos descobrir os valores de
e
que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, como ambas as equações são iguais a
, podemos igualar o lado direito das duas equações:
Agora, queremos resolver essa equação para encontrar os valores de
que fazem isso acontecer. Para resolver uma equação trigonométrica como essa, podemos dividir ambos os lados por
(desde que
):
Passo 3
A equação
significa que
é um ângulo cujo tangente é 1. Sabemos que isso acontece quando:
Resolvendo para
:
Vamos considerar os valores de
que dão soluções distintas no intervalo de
a
:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Passo 4
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar os correspondentes valores de
. Podemos usar uma das equações originais, por exemplo:
Substituindo cada valor de
:
-
Para
: -
Para
: Comonão pode ser negativo, descartamos esta solução. -
Para
: -
Para
: Novamente,é negativo, então descartamos esta solução.
Resposta
Os pontos de interseção das curvas são: