Encontre todos os pontos de interseção das curvas dadas.
r^2 = sen(2 theta), r^2 = cos(2 theta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão de encontrar todos os pontos onde as duas curvas se cruzam. As curvas que temos são dadas por:
e
Estamos lidando com equações em coordenadas polares, que envolvem (a distância do ponto à origem) e (o ângulo em relação ao eixo positivo ). Para encontrar os pontos de interseção, precisamos descobrir os valores de e que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, como ambas as equações são iguais a , podemos igualar o lado direito das duas equações:
Agora, queremos resolver essa equação para encontrar os valores de que fazem isso acontecer. Para resolver uma equação trigonométrica como essa, podemos dividir ambos os lados por (desde que ):

Passo 3

A equação significa que é um ângulo cujo tangente é 1. Sabemos que isso acontece quando:
é
Resolvendo para :
Vamos considerar os valores de que dão soluções distintas no intervalo de a :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Agora que temos os valores de , vamos encontrar os correspondentes valores de . Podemos usar uma das equações originais, por exemplo:
Substituindo cada valor de :
  1. Para :
  2. Para :
    Como não pode ser negativo, descartamos esta solução.
  3. Para :
  4. Para :
    Novamente, é negativo, então descartamos esta solução.

Resposta

Os pontos de interseção das curvas são:

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