Determine as soluções inteiras das equações abaixo:
144 x+84 y=-36

Passo 1

O enunciado pede as soluções inteiras da equação linear diofantina
144x + 84y = -36.
O conteúdo é resolução de equação linear em dois inteiros. Vamos precisar calcular o máximo divisor comum dos coeficientes, verificar a divisibilidade e então obter uma solução particular para, finalmente, escrever a solução geral.

Passo 2

Calcular o máximo divisor comum dos coeficientes:
\gcd(144,84) = 12.
Como 12 divide -36, podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 12, obtendo
12x + 7y = -3.

Passo 3

Encontrar uma solução particular de
12x + 7y = -3.
Fazendo x=-2, vem
12\cdot(-2) + 7y = -3 \quad\Longrightarrow\quad -24 + 7y = -3 \quad\Longrightarrow\quad 7y = 21 \quad\Longrightarrow\quad y = 3.
Logo, uma solução particular é (x_0,y_0)=(-2,\,3).

Passo 4

Escrever a solução geral. Sejam a=144, b=84 e d=12. A forma geral das soluções é
x = x_0 + \frac{b}{d}\,t \quad\text{e}\quad y = y_0 - \frac{a}{d}\,t,
com t\in\mathbb{Z}. Substituindo x_0=-2, y_0=3, b/d=7 e a/d=12, temos
x = -2 + 7t, \quad y = 3 - 12t, \quad t\in\mathbb{Z}.

Resposta

(x,y) = \bigl(-2 + 7t,\;3 - 12t\bigr),\quad t\in\mathbb{Z}.

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