Determine as soluções inteiras das equações abaixo:
72 x+40 y=20

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções inteiras (x,y) da equação linear diofantina
72x + 40y = 20.
O que precisamos aplicar é o critério de existência de soluções para
ax + by = c,
que diz que existe solução inteira se, e somente se, \gcd(a,b) divide c.

Passo 2

Calculemos \gcd(72,40) pelo Algoritmo de Euclides:
72 = 40 \cdot 1 + 32,
40 = 32 \cdot 1 + 8,
32 = 8 \cdot 4 + 0.
Logo,
\gcd(72,40) = 8.

Passo 3

Verificamos se 8 divide o termo independente 20. Como
20 \div 8 = 2{,}5
não é inteiro, concluímos que 8 \nmid 20.

Passo 4

Pelo critério de existência, como \gcd(72,40)=8 não divide 20, não há nenhuma solução inteira para a equação dada.

Resposta

Não existem soluções inteiras para 72x + 40y = 20.

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