Determine soluções particulares para as seguintes equações:
y^{\prime \prime}+4 y=\operatorname{sen}(3 t).

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular para a equação
y'' + 4y = \operatorname{sen}(3t).
Este é um caso de equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients) para achar uma solução particular y_{p}(t).

Passo 2

Primeiro, analisamos a homogênea associada
y'' + 4y = 0
cuja frequência natural é \omega_{0}=2. Como a forçante tem frequência 3\neq2, não há ressonância, e podemos procurar
y_{p}(t) = A\cos(3t) + B\sin(3t).

Passo 3

Calculamos as derivadas de y_{p}:
y_{p}'(t) = -3A\sin(3t) + 3B\cos(3t),
y_{p}''(t) = -9A\cos(3t) -9B\sin(3t).
Substituindo em y'' + 4y = \operatorname{sen}(3t), obtemos
(-9A\cos(3t) -9B\sin(3t)) + 4(A\cos(3t) + B\sin(3t)) = \operatorname{sen}(3t).
Isso dá
(-9A + 4A)\cos(3t) + (-9B + 4B)\sin(3t) = 0\cdot\cos(3t) + 1\cdot\sin(3t).

Passo 4

Comparando coeficientes:
\begin{cases} -5A = 0,\\\\ -5B = 1, \end{cases}
segue A = 0 e B = -\tfrac{1}{5}. Portanto
y_{p}(t) = 0\cdot\cos(3t) - \tfrac{1}{5}\sin(3t) = -\tfrac{1}{5}\sin(3t).

Resposta

A solução particular da equação é
y_{p}(t) = -\tfrac{1}{5}\sin(3t).

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