Determine soluções particulares para as seguintes equações: y^{\prime \prime}+4 y=\operatorname{sen}(3 t).
Passo 1
O enunciado pede uma solução particular para a equação
y'' + 4y = \operatorname{sen}(3t).
Este é um caso de equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients) para achar uma solução particular y_{p}(t).
Passo 2
Primeiro, analisamos a homogênea associada
y'' + 4y = 0
cuja frequência natural é \omega_{0}=2. Como a forçante tem frequência 3\neq2, não há ressonância, e podemos procurar
y_{p}(t) = A\cos(3t) + B\sin(3t).
Passo 3
Calculamos as derivadas de y_{p}:
y_{p}'(t) = -3A\sin(3t) + 3B\cos(3t),
y_{p}''(t) = -9A\cos(3t) -9B\sin(3t).
Substituindo em y'' + 4y = \operatorname{sen}(3t), obtemos