Verifique se os pares de funções abaixo são L.D. ou L.I.
f(x)=\operatorname{sen}^{2} x e g(x)=1-\cos (2 x).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o par de funções \;f(x)=\sin^2 x e \;g(x)=1-\cos(2x)
é linearmente dependente (L.D.) ou linearmente independente (L.I.) num domínio típico, por exemplo \mathbb{R}. Para isso, vamos usar a definição: são L.D. se existem constantes não simultaneamente nulas A,B tais que
A\,f(x) + B\,g(x) = 0
para todo x.

Passo 2

Recordamos a identidade trigonométrica do ângulo duplo:
\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x.
Dessa forma, isolamos 1-\cos(2x):

Passo 3

Subtraindo ambos os lados de 1, obtemos
1 - \cos(2x) = 2\sin^2 x.
Portanto, note que
g(x) = 1-\cos(2x) = 2\,\sin^2 x = 2\,f(x).

Passo 4

Como g(x) - 2\,f(x) = 0 para todo x, temos uma relação linear não trivial entre f e g (basta escolher A=-2 e B=1, por exemplo). Isso mostra que as duas funções são linearmente dependentes.

Resposta

As funções são linearmente dependentes.

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