Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo \mathbb{R}^{n}.
V=(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+y=0 \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto V de \mathbb{R}^{3} definido por
V = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x+y=0\}.
A pergunta é: determinar se V é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.
Informações relevantes dadas:
  • Um vetor genérico em V é (x,y,z) sujeito à condição x+y=0.
  • Não há outras restrições sobre z.
  • Temos que verificar se V satisfaz as propriedades exigidas para ser subespaço (veremos quais no passo seguinte).

Passo 2

Lembrete didático importante: para um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^{n} ser subespaço vetorial, basta verificar três propriedades (essas três garantem que W é um espaço vetorial com as operações herdadas de \mathbb{R}^{n}):
  1. W não é vazio (geralmente mostramos que o vetor zero está em W).
  2. Fechamento por soma: se u\in W e v\in W, então u+v\in W.
  3. Fechamento por multiplicação escalar: se u\in W e c\in\mathbb{R}, então c\,u\in W.
Vou aplicar exatamente essas três verificações para V. Cada passo mostra por que a propriedade vale usando a condição x+y=0.

Passo 3

Verificação do item 1 — V não é vazio (vetor zero).
O vetor zero de \mathbb{R}^{3} é (0,0,0). Substituindo na condição:
0+0=0,
logo (0,0,0) satisfaz x+y=0. Portanto (0,0,0)\in V e V não é vazio.

Passo 4

Verificação do item 2 — fechamento por soma.
Sejam u=(x_{1},y_{1},z_{1})\in V e v=(x_{2},y_{2},z_{2})\in V. Pelo fato de estarem em V sabemos que
x_{1}+y_{1}=0\quad\text{e}\quad x_{2}+y_{2}=0.
Considere u+v=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2}). Para verificar se u+v\in V precisamos checar a condição x+y=0 no vetor soma:
(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})=(x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})=0+0=0.
Como a soma dos dois primeiros componentes é zero, o vetor u+v satisfaz a condição e portanto u+v\in V. Assim V é fechado por soma.

Passo 5

Verificação do item 3 — fechamento por multiplicação escalar.
Seja u=(x,y,z)\in V com x+y=0 e seja c\in\mathbb{R}. O vetor c\,u é (c x,\, c y,\, c z). Verificamos a condição:
(c x)+(c y)=c(x+y)=c\cdot 0 = 0.
Portanto c\,u também satisfaz a condição x+y=0, logo c\,u\in V. Assim V é fechado por multiplicação escalar.

Passo 6

Representação paramétrica e interpretação geométrica (ajuda a fixar o conceito).
Da condição x+y=0 vem y=-x. Então um vetor genérico de V pode ser escrito como
(x,y,z)=(x,-x,z)=x\,(1,-1,0)+z\,(0,0,1).
Isto mostra que
V=\operatorname{span}\{(1,-1,0),\,(0,0,1)\},
ou seja, V é o subespaço gerado por esses dois vetores (uma combinação linear de dois vetores). Esses dois vetores são linearmente independentes porque se a(1,-1,0)+b(0,0,1)=(0,0,0) então das componentes obtemos a=0 e b=0. Logo \dim(V)=2: geometricamente V é um plano que passa pela origem em \mathbb{R}^{3}.

Resposta

Sim. V é subespaço de \mathbb{R}^{3} e V=\operatorname{span}\{(1,-1,0),\,(0,0,1)\}.

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