Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
.
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
de
definido por
A pergunta é: determinar se
é um subespaço de
.
Informações relevantes dadas:
- Um vetor genérico em
é sujeito à condição . - Não há outras restrições sobre
. - Temos que verificar se
satisfaz as propriedades exigidas para ser subespaço (veremos quais no passo seguinte).
Passo 2
Lembrete didático importante: para um subconjunto
ser subespaço vetorial, basta verificar três propriedades (essas três garantem que
é um espaço vetorial com as operações herdadas de
):
-
não é vazio (geralmente mostramos que o vetor zero está em ). - Fechamento por soma: se
e , então . - Fechamento por multiplicação escalar: se
e , então .
Vou aplicar exatamente essas três verificações para
. Cada passo mostra por que a propriedade vale usando a condição
.
Passo 3
Verificação do item 1 —
não é vazio (vetor zero).
O vetor zero de é
. Substituindo na condição:
O vetor zero de
logo
satisfaz
. Portanto
e
não é vazio.
Passo 4
Verificação do item 2 — fechamento por soma.
Sejam e
. Pelo fato de estarem em
sabemos que
Sejam
Considere
. Para verificar se
precisamos checar a condição
no vetor soma:
Como a soma dos dois primeiros componentes é zero, o vetor
satisfaz a condição e portanto
. Assim
é fechado por soma.
Passo 5
Verificação do item 3 — fechamento por multiplicação escalar.
Seja com
e seja
. O vetor
é
. Verificamos a condição:
Seja
Portanto
também satisfaz a condição
, logo
. Assim
é fechado por multiplicação escalar.
Passo 6
Representação paramétrica e interpretação geométrica (ajuda a fixar o conceito).
Da condição vem
. Então um vetor genérico de
pode ser escrito como
Da condição
Isto mostra que
ou seja,
é o subespaço gerado por esses dois vetores (uma combinação linear de dois vetores). Esses dois vetores são linearmente independentes porque se
então das componentes obtemos
e
. Logo
: geometricamente
é um plano que passa pela origem em
.
Resposta
Sim.
é subespaço de
e
.