Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo \mathbb{R}^{n}.
S=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid 2 x-y=0 e z-t=0 \subset \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o conjunto
S=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid 2x-y=0\text{ e }z-t=0\}
é um subespaço de \mathbb{R}^{4}.
Informações dadas:
  • Os vetores em S são tuplas (x,y,z,t) em que as duas equações lineares são satisfeitas: \;2x-y=0\; e \;z-t=0.
  • Não há outras restrições (nenhuma condição não linear, por exemplo).

Passo 2

Lembrete didático: o que significa ser subespaço de \mathbb{R}^{n}?
Um subconjunto V\subseteq\mathbb{R}^{n} é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades (principais e suficientes):
  1. Contém o vetor nulo (ou seja, é não-vazio): \mathbf{0}\in V. Aqui \mathbf{0}=(0,0,\dots,0).
  2. Fechado sob adição: se \mathbf{u}\in V e \mathbf{v}\in V, então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in V.
  3. Fechado sob multiplicação escalar: se \mathbf{u}\in V e c\in\mathbb{R}, então c\mathbf{u}\in V.
Vou verificar cada uma dessas propriedades para S. (Explico cada variável quando aparecer: x,y,z,t são as coordenadas do vetor em \mathbb{R}^4; c é um escalar real.)

Passo 3

Verificar se o vetor zero está em S.
O vetor zero é \mathbf{0}=(0,0,0,0). Substituindo nas equações:
\;2\cdot 0 - 0 = 0\; e \;0 - 0 = 0\;. Ambas são verdadeiras, logo \mathbf{0}\in S. Portanto a propriedade 1 (não-vazio / contém o zero) está satisfeita.

Passo 4

Verificar fechamento por adição.
Sejam \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1,t_1)\in S e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in S. Como estão em S, temos
\;2x_1-y_1=0,\; z_1-t_1=0\; e \;2x_2-y_2=0,\; z_2-t_2=0.
Considere a soma \mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;t_1+t_2). Verifico as equações:
2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)= (2x_1-y_1)+(2x_2-y_2)=0+0=0,
(z_1+z_2)-(t_1+t_2)= (z_1-t_1)+(z_2-t_2)=0+0=0.
Como ambas equações são satisfeitas, \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S. Logo S é fechado sob adição.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Se \mathbf{u}=(x,y,z,t)\in S então 2x-y=0 e z-t=0. Para um escalar c\in\mathbb{R}, considere c\mathbf{u}=(cx,cy,cz,ct). Verifico:
2(cx)-(cy)=c(2x-y)=c\cdot 0=0,
cz-ct=c(z-t)=c\cdot 0=0.
Assim c\mathbf{u}\in S. Portanto S é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 6

Conclusão das três propriedades: como S contém o zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação escalar, concluímos que S é um subespaço de \mathbb{R}^{4}.
Agora uma descrição mais prática (útil na prova): das equações \;2x-y=0\; e \;z-t=0\; obtemos \;y=2x\; e \;t=z. Portanto qualquer vetor de S pode ser escrito como
(x,y,z,t)=(x,2x,z,z).
Em forma de combinação linear:
(x,2x,z,z)=x(1,2,0,0)+z(0,0,1,1).
Isto mostra que S é o subespaço gerado pelos vetores (1,2,0,0) e (0,0,1,1), ou seja, S=\operatorname{span}\{(1,2,0,0),(0,0,1,1)\}.

Passo 7

Verificar independência linear rápida (para determinar dimensão e base): suponha que
\;a(1,2,0,0)+b(0,0,1,1)=(0,0,0,0). Isso dá o sistema
\;a=0,\;2a=0,\;b=0,\;b=0, logo a=0 e b=0. Portanto os dois vetores são linearmente independentes. Assim eles formam uma base de S e a dimensão de S é 2.

Resposta

Sim. S é subespaço de \mathbb{R}^{4}.
S=\operatorname{span}\{(1,2,0,0),(0,0,1,1)\}.
Uma base é \{(1,2,0,0),(0,0,1,1)\} e \dim S=2.

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