Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
.
e
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o conjunto
é um subespaço de .
é um subespaço de
Informações dadas:
- Os vetores em
são tuplas em que as duas equações lineares são satisfeitas: e . - Não há outras restrições (nenhuma condição não linear, por exemplo).
Passo 2
Lembrete didático: o que significa ser subespaço de
?
Um subconjunto é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades (principais e suficientes):
Um subconjunto
- Contém o vetor nulo (ou seja, é não-vazio):
. Aqui . - Fechado sob adição: se
e , então . - Fechado sob multiplicação escalar: se
e , então .
Vou verificar cada uma dessas propriedades para
. (Explico cada variável quando aparecer:
são as coordenadas do vetor em
;
é um escalar real.)
Passo 3
Verificar se o vetor zero está em
.
O vetor zero é
. Substituindo nas equações:
e
. Ambas são verdadeiras, logo
. Portanto a propriedade 1 (não-vazio / contém o zero) está satisfeita.
Passo 4
Verificar fechamento por adição.
Sejam
e
. Como estão em
, temos
e
.
Considere a soma
. Verifico as equações:
Como ambas equações são satisfeitas,
. Logo
é fechado sob adição.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Se
então
e
. Para um escalar
, considere
. Verifico:
Assim
. Portanto
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 6
Conclusão das três propriedades: como
contém o zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço de
.
Agora uma descrição mais prática (útil na prova): das equações
e
obtemos
e
. Portanto qualquer vetor de
pode ser escrito como
Em forma de combinação linear:
Isto mostra que
é o subespaço gerado pelos vetores
e
, ou seja,
.
Passo 7
Verificar independência linear rápida (para determinar dimensão e base): suponha que
. Isso dá o sistema
, logo
e
. Portanto os dois vetores são linearmente independentes. Assim eles formam uma base de
e a dimensão de
é
.
Resposta
Sim.
é subespaço de
.
.
Uma base é e
.
Uma base é