1. Determine o subespaço vetorial gerado por (1,2) e (-2,-4) em R^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o subespaço vetorial gerado pelos vetores (1,2) e (-2,-4) em \mathbb{R}^{2}.
Informações dadas:
  • Dois vetores em \mathbb{R}^{2}: (1,2) e (-2,-4).
  • A tarefa é achar o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores (ou seja, o subespaço que eles geram).

Passo 2

O que significa “subespaço gerado” de dois vetores?
Definição prática: o subespaço gerado por vetores v e w é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Em notação:
\text{span}\{v,w\}=\{a v + b w \mid a,b\in\mathbb{R}\}.
Aqui, a e b são números reais (escalars). Esse conjunto sempre contém o vetor nulo e é um subespaço de \mathbb{R}^2.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear geral dos vetores do enunciado: para a,b\in\mathbb{R},
a(1,2)+b(-2,-4).
Vamos calcular as componentes dessa soma coordenada a coordenada:
a(1,2)+b(-2,-4)=(a-2b,\;2a-4b).

Passo 4

Observe que as duas coordenadas têm uma dependência simples:
(a-2b,\;2a-4b)=(a-2b,\;2(a-2b)).
Se chamarmos t=a-2b, então a combinação linear fica
(t,\;2t)=t(1,2),
com t\in\mathbb{R} (porque a,b variam em \mathbb{R}, então t=a-2b percorre todos os reais).

Passo 5

Interpretação direta do passo anterior: todo vetor que se obtém combinando (1,2) e (-2,-4) tem a forma t(1,2). Portanto o conjunto de todas essas combinações é exatamente a reta através da origem formada pelos múltiplos do vetor (1,2).
Além disso, verifica-se explicitamente que (-2,-4) é múltiplo de (1,2), pois
(-2,-4) = -2(1,2).
Isso mostra que os vetores são linearmente dependentes e que um deles já gera todo o subespaço.

Passo 6

Conclusões úteis para a prova (forma alternativa e propriedades):
  • O subespaço gerado é o conjunto de todos os múltiplos escalares de (1,2), ou seja, uma reta passando pela origem com declive 2.
  • Em linguagem de coordenadas, é o conjunto \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y=2x\}.
  • Uma base deste subespaço é \{(1,2)\} e a dimensão do subespaço é 1.
Exemplos rápidos: para t=3 obtemos (3,6) que pertence ao subespaço; para t=-\tfrac{1}{2} obtemos (-\tfrac{1}{2},-1), etc.

Resposta

\{t(1,2)\mid t\in\mathbb{R}\} = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y=2x\}

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