- Determine o subespaço vetorial gerado por
e
em
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o subespaço vetorial gerado pelos vetores
e
em
.
Informações dadas:
- Dois vetores em
: e . - A tarefa é achar o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores (ou seja, o subespaço que eles geram).
Passo 2
O que significa “subespaço gerado” de dois vetores?
Definição prática: o subespaço gerado por vetores e
é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Em notação:
Definição prática: o subespaço gerado por vetores
Aqui,
e
são números reais (escalars). Esse conjunto sempre contém o vetor nulo e é um subespaço de
.
Passo 3
Escrevendo a combinação linear geral dos vetores do enunciado: para
,
Vamos calcular as componentes dessa soma coordenada a coordenada:
Passo 4
Observe que as duas coordenadas têm uma dependência simples:
Se chamarmos
, então a combinação linear fica
com
(porque
variam em
, então
percorre todos os reais).
Passo 5
Interpretação direta do passo anterior: todo vetor que se obtém combinando
e
tem a forma
. Portanto o conjunto de todas essas combinações é exatamente a reta através da origem formada pelos múltiplos do vetor
.
Além disso, verifica-se explicitamente que
é múltiplo de
, pois
Isso mostra que os vetores são linearmente dependentes e que um deles já gera todo o subespaço.
Passo 6
Conclusões úteis para a prova (forma alternativa e propriedades):
- O subespaço gerado é o conjunto de todos os múltiplos escalares de
, ou seja, uma reta passando pela origem com declive . - Em linguagem de coordenadas, é o conjunto
. - Uma base deste subespaço é
e a dimensão do subespaço é .
Exemplos rápidos: para
obtemos
que pertence ao subespaço; para
obtemos
, etc.