Dê um exemplo de três vetores \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} em R^{3} que geram um subespaço vetorial.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo concreto de três vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} em \mathbb{R}^3 que gerem um subespaço vetorial.
Informações dadas: nenhum vetor específico foi imposto; posso escolher os vetores livremente desde que pertençam a \mathbb{R}^3.
O que preciso entregar: três vetores em \mathbb{R}^3 e uma explicação passo a passo mostrando que eles, de fato, geram um subespaço (ou seja, que o conjunto de todas as combinações lineares deles é um subespaço).
Passo 2
O que significa “gerar um subespaço”? Vou explicar de forma bem direta e com exemplos.
Dizer que \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} geram um subespaço significa que consideramos o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Esse conjunto chama-se espaço gerado (ou span) e é escrito \mathrm{span}\{\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\}.
Definição de combinação linear: um vetor \mathbf{x} é combinação linear de \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} quando existem escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que \mathbf{x}=\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v}+\gamma\mathbf{w}.
O espaço gerado é \mathrm{span}\{\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\}=\{\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v}+\gamma\mathbf{w}\mid \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}\}. Esse conjunto é sempre um subespaço (vou mostrar as propriedades abaixo).
Passo 3
Vou escolher vetores simples e muito usados na prova: os vetores canônicos (base padrão) de \mathbb{R}^3. Defino
Agora, por que \mathrm{span}\{\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\} é um subespaço? Vou dar a ideia geral, importantíssima para prova:
Para um conjunto ser subespaço de um espaço vetorial é preciso verificar três propriedades básicas: conter o vetor zero, ser fechado sob soma e ser fechado sob multiplicação por escalar. Mostro cada uma para \mathrm{span}\{\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\}:
Vetor zero: escolher \alpha=\beta=\gamma=0 dá 0\mathbf{u}+0\mathbf{v}+0\mathbf{w}=\mathbf{0}. Então \mathbf{0} pertence ao span.
Fechamento por soma: pegue dois vetores quaisquer do span,
Essas três propriedades garantem que \mathrm{span}\{\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\} é um subespaço. Como vimos no Passo 4, neste caso o subespaço é todo \mathbb{R}^3.
Passo 6
Resumo didático e dica para prova:
Se escolheres os vetores canônicos, fica imediata a escrita de um vetor arbitrário como combinação linear (veja o Passo 4). Isso é uma forma rápida de provar que os vetores geram \mathbb{R}^3.
Alternativa importante: três vetores nem sempre geram todo \mathbb{R}^3. Se forem linearmente dependentes (por exemplo (1,0,0),(2,0,0),(3,0,0)) geram apenas uma reta. Saber reconhecer dependência/independência ajuda a identificar se o span é uma reta, um plano ou todo \mathbb{R}^3.