1. Dê um exemplo de três vetores \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} em R^{3} que geram um subespaço vetorial.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo concreto de três vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} em \mathbb{R}^3 que gerem um subespaço vetorial.
Informações dadas: nenhum vetor específico foi imposto; posso escolher os vetores livremente desde que pertençam a \mathbb{R}^3.
O que preciso entregar: três vetores em \mathbb{R}^3 e uma explicação passo a passo mostrando que eles, de fato, geram um subespaço (ou seja, que o conjunto de todas as combinações lineares deles é um subespaço).

Passo 2

O que significa “gerar um subespaço”? Vou explicar de forma bem direta e com exemplos.
  • Dizer que \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} geram um subespaço significa que consideramos o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Esse conjunto chama-se espaço gerado (ou span) e é escrito \mathrm{span}\{\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\}.
  • Definição de combinação linear: um vetor \mathbf{x} é combinação linear de \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} quando existem escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que \mathbf{x}=\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v}+\gamma\mathbf{w}.
  • O espaço gerado é \mathrm{span}\{\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\}=\{\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v}+\gamma\mathbf{w}\mid \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}\}. Esse conjunto é sempre um subespaço (vou mostrar as propriedades abaixo).

Passo 3

Vou escolher vetores simples e muito usados na prova: os vetores canônicos (base padrão) de \mathbb{R}^3. Defino
\mathbf{u}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\qquad \mathbf{w}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Esses três vetores pertencem a \mathbb{R}^3 (cada um tem três coordenadas reais).

Passo 4

Vou mostrar que \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} geram todo \mathbb{R}^3. Seja um vetor arbitrário em \mathbb{R}^3,
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},
com x,y,z\in\mathbb{R}. Posso escrever \mathbf{x} como combinação linear dos vetores escolhidos:
\mathbf{x}=x\mathbf{u}+y\mathbf{v}+z\mathbf{w}.
De fato, calculando o lado direito:
x\mathbf{u}+y\mathbf{v}+z\mathbf{w} = x\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\mathbf{x}.
Isso mostra que qualquer vetor \mathbf{x}\in\mathbb{R}^3 é combinação linear de \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}. Logo
\mathrm{span}\{\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\}=\mathbb{R}^3.

Passo 5

Agora, por que \mathrm{span}\{\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\} é um subespaço? Vou dar a ideia geral, importantíssima para prova:
Para um conjunto ser subespaço de um espaço vetorial é preciso verificar três propriedades básicas: conter o vetor zero, ser fechado sob soma e ser fechado sob multiplicação por escalar. Mostro cada uma para \mathrm{span}\{\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\}:
  • Vetor zero: escolher \alpha=\beta=\gamma=0 0\mathbf{u}+0\mathbf{v}+0\mathbf{w}=\mathbf{0}. Então \mathbf{0} pertence ao span.
  • Fechamento por soma: pegue dois vetores quaisquer do span,
\mathbf{a}=\alpha_1\mathbf{u}+\beta_1\mathbf{v}+\gamma_1\mathbf{w},\qquad \mathbf{b}=\alpha_2\mathbf{u}+\beta_2\mathbf{v}+\gamma_2\mathbf{w}.
A soma é
\mathbf{a}+\mathbf{b}=(\alpha_1+\alpha_2)\mathbf{u}+(\beta_1+\beta_2)\mathbf{v}+(\gamma_1+\gamma_2)\mathbf{w},
que é outra combinação linear dos mesmos vetores; logo \mathbf{a}+\mathbf{b} também está no span.
  • Fechamento por escalar: para escalar t\in\mathbb{R},
t\mathbf{a}=t(\alpha_1\mathbf{u}+\beta_1\mathbf{v}+\gamma_1\mathbf{w})=(t\alpha_1)\mathbf{u}+(t\beta_1)\mathbf{v}+(t\gamma_1)\mathbf{w},
ou seja, também está no span.
Essas três propriedades garantem que \mathrm{span}\{\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\} é um subespaço. Como vimos no Passo 4, neste caso o subespaço é todo \mathbb{R}^3.

Passo 6

Resumo didático e dica para prova:
  • Se escolheres os vetores canônicos, fica imediata a escrita de um vetor arbitrário como combinação linear (veja o Passo 4). Isso é uma forma rápida de provar que os vetores geram \mathbb{R}^3.
  • Alternativa importante: três vetores nem sempre geram todo \mathbb{R}^3. Se forem linearmente dependentes (por exemplo (1,0,0),(2,0,0),(3,0,0)) geram apenas uma reta. Saber reconhecer dependência/independência ajuda a identificar se o span é uma reta, um plano ou todo \mathbb{R}^3.

Resposta

\displaystyle \mathbf{u}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad \mathbf{v}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad \mathbf{w}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}

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