Determine os subespaços do \mathbb{R}^{3} gerados pelos seguintes conjuntos:
e. \mathrm{A}=\{(1,2,-1),(-1,1,0),(-3,0,1),(-2,-1,1)\}
f. \mathrm{A}=\{(1,2,-1),(-1,1,0),(0,0,2),(-2,1,0)\}
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
Pedido: determinar os subespaços de \mathbb{R}^{3} gerados pelos conjuntos dados nas alíneas (e) e (f). Ou seja, para cada conjunto \mathrm{A} encontrar \mathrm{span}(\mathrm{A}) — o menor subespaço de \mathbb{R}^{3} que contém todos os vetores de \mathrm{A}.
Dados alínea (e): \mathrm{A}=\{(1,2,-1),(-1,1,0),(-3,0,1),(-2,-1,1)\}. Vou chamar os vetores de
Estratégia geral e conceito necessário (explicadinho, sem pressa).
Definição que vamos usar: o subespaço gerado por um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Em notação, se \mathrm{A}=\{u_1,\dots,u_k\} então
Nosso objetivo prático é encontrar uma base do subespaço gerado (um subconjunto linearmente independente que gera o mesmo subespaço). Uma base tem poucas vantagens: é mínima e nos diz a dimensão.
Método escolhido: organizar os vetores como colunas de uma matriz 3\times n e fazer eliminação (redução por linhas) para identificar colunas-pivô. As colunas originais correspondentes às colunas-pivô formam uma base do span. Por quê? Porque as colunas-pivô são linearmente independentes e as demais colunas aparecem como combinações lineares delas (isso vem do processo de eliminação). É um método direto e rápido quando se tem muitos vetores em \mathbb{R}^3.
Observação prática: se encontrarmos 2 pivôs a dimensão do subespaço é 2 (um plano através da origem), se chegarmos a 3 pivôs é \mathbb{R}^3, se só 1 pivô é uma reta, etc.
Agora aplico esse método separadamente para (e) e (f), mostrando todas as operações passo a passo.
Passo 3
Alínea (e): montar a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}.
Eliminar a entrada -1 em \text{R}_3 usando \text{R}_2: \text{R}_3\leftarrow \text{R}_3+\text{R}_2.
E eliminar o -1 em \text{R}_1 na coluna 2: \text{R}_1\leftarrow \text{R}_1+\text{R}_2.
Agora temos duas linhas não-nulas: pivôs nas colunas 1 e 2. A forma reduzida nos mostra como as colunas 3 e 4 se expressam em termos das colunas 1 e 2: as colunas 3 e 4, na matriz final, aparecem como \begin{pmatrix}-1\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} (ignora-se a linha de zeros).]
Passo 5
Alínea (e): interpretar o resultado da eliminação e escrever as combinações lineares.
Pivôs nas colunas 1 e 2 \Rightarrow vetores v_{1} e v_{2} são linearmente independentes e formam uma base do subespaço gerado por todos os quatro vetores. Logo
Agora a forma reduzida mostra pivôs nas colunas 1, 2 e 3.]
Passo 8
Alínea (f): interpretar o resultado.
Há pivôs em três colunas (1, 2 e 3). Isso significa que w_{1},w_{2},w_{3} são linearmente independentes e formam uma base de um subespaço de dimensão 3. Num espaço tridimensional isso já implica que o subespaço é todo \mathbb{R}^{3}.
(Opcional para compreensão) A coluna 4 da matriz reduzida é \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{3}\\[2pt]\tfrac{5}{3}\\[2pt]-\tfrac{1}{6}\end{pmatrix}, o que corresponde à combinação