Determine os subespaços do \mathbb{R}^{3} gerados pelos seguintes conjuntos:
e. \mathrm{A}=\{(1,2,-1),(-1,1,0),(-3,0,1),(-2,-1,1)\}
f. \mathrm{A}=\{(1,2,-1),(-1,1,0),(0,0,2),(-2,1,0)\}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pedido: determinar os subespaços de \mathbb{R}^{3} gerados pelos conjuntos dados nas alíneas (e) e (f). Ou seja, para cada conjunto \mathrm{A} encontrar \mathrm{span}(\mathrm{A}) — o menor subespaço de \mathbb{R}^{3} que contém todos os vetores de \mathrm{A}.
  • Dados alínea (e): \mathrm{A}=\{(1,2,-1),(-1,1,0),(-3,0,1),(-2,-1,1)\}. Vou chamar os vetores de
    v_{1}=(1,2,-1),\quad v_{2}=(-1,1,0),\quad v_{3}=(-3,0,1),\quad v_{4}=(-2,-1,1).
  • Dados alínea (f): \mathrm{A}=\{(1,2,-1),(-1,1,0),(0,0,2),(-2,1,0)\}. Vou chamar os vetores de
    w_{1}=(1,2,-1),\quad w_{2}=(-1,1,0),\quad w_{3}=(0,0,2),\quad w_{4}=(-2,1,0).

Passo 2

Estratégia geral e conceito necessário (explicadinho, sem pressa).
  • Definição que vamos usar: o subespaço gerado por um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Em notação, se \mathrm{A}=\{u_1,\dots,u_k\} então
    \mathrm{span}(\mathrm{A})=\{a_1u_1+\cdots+a_ku_k \mid a_i\in\mathbb{R}\}.
    Nosso objetivo prático é encontrar uma base do subespaço gerado (um subconjunto linearmente independente que gera o mesmo subespaço). Uma base tem poucas vantagens: é mínima e nos diz a dimensão.
  • Método escolhido: organizar os vetores como colunas de uma matriz 3\times n e fazer eliminação (redução por linhas) para identificar colunas-pivô. As colunas originais correspondentes às colunas-pivô formam uma base do span. Por quê? Porque as colunas-pivô são linearmente independentes e as demais colunas aparecem como combinações lineares delas (isso vem do processo de eliminação). É um método direto e rápido quando se tem muitos vetores em \mathbb{R}^3.
  • Observação prática: se encontrarmos 2 pivôs a dimensão do subespaço é 2 (um plano através da origem), se chegarmos a 3 pivôs é \mathbb{R}^3, se só 1 pivô é uma reta, etc.
Agora aplico esse método separadamente para (e) e (f), mostrando todas as operações passo a passo.

Passo 3

Alínea (e): montar a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}.
M_e=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 & -2\\[4pt] 2 & 1 & 0 & -1\\[4pt] -1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}]

Passo 4

Alínea (e): realizar a eliminação por linhas (vou indicar cada operação e o resultado).
  1. Usar \text{R}_1 como pivô de coluna 1 e eliminar abaixo:
  • \text{R}_2\leftarrow \text{R}_2-2\text{R}_1.
  • \text{R}_3\leftarrow \text{R}_3+\text{R}_1.
Aplicando:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 & -2\\[4pt] 2 & 1 & 0 & -1\\[4pt] -1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \stackrel{\substack{\text{R}_2-2\text{R}_1\\\ \text{R}_3+\text{R}_1}}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 & -2\\[4pt] 0 & 3 & 6 & 3\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -1 \end{pmatrix}
  1. Tornar o pivô da segunda linha igual a 1: \text{R}_2\leftarrow \frac{1}{3}\text{R}_2.
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 & -2\\[4pt] 0 & 3 & 6 & 3\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -1 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -1 \end{pmatrix}
  1. Eliminar a entrada -1 em \text{R}_3 usando \text{R}_2: \text{R}_3\leftarrow \text{R}_3+\text{R}_2.
    E eliminar o -1 em \text{R}_1 na coluna 2: \text{R}_1\leftarrow \text{R}_1+\text{R}_2.
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -1 \end{pmatrix} \stackrel{\substack{\text{R}_3+\text{R}_2\\\ \text{R}_1+\text{R}_2}}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Agora temos duas linhas não-nulas: pivôs nas colunas 1 e 2. A forma reduzida nos mostra como as colunas 3 e 4 se expressam em termos das colunas 1 e 2: as colunas 3 e 4, na matriz final, aparecem como \begin{pmatrix}-1\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} (ignora-se a linha de zeros).]

Passo 5

Alínea (e): interpretar o resultado da eliminação e escrever as combinações lineares.
  • Pivôs nas colunas 1 e 2 \Rightarrow vetores v_{1} e v_{2} são linearmente independentes e formam uma base do subespaço gerado por todos os quatro vetores. Logo
    \mathrm{span}\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}=\mathrm{span}\{v_{1},v_{2}\}.
  • Expressões explícitas (tiradas da matriz reduzida):
    v_{3}=-1\cdot v_{1}+2\cdot v_{2}, \qquad v_{4}=-1\cdot v_{1}+1\cdot v_{2}.
    Podemos verificar rapidamente: -v_{1}+2v_{2}=(-3,0,1)=v_{3} e -v_{1}+v_{2}=(-2,-1,1)=v_{4}.
  • Parametrização do subespaço: qualquer vetor do span tem a forma
    s\,v_{1}+t\,v_{2}=s(1,2,-1)+t(-1,1,0)=(s-t,\,2s+t,\,-s).
    Chamando as coordenadas (x,y,z) e eliminando s,t dá-se uma equação linear do plano:
    z=-s\Rightarrow s=-z,\quad x=s-t=-z-t\Rightarrow t=-z-x,
y=2s+t=2(-z)+(-z-x)=-3z-x.
Reorganizando:
x+y+3z=0.
Portanto o subespaço é o plano através da origem com equação \,x+y+3z=0.
Conclusão parcial (e): o subespaço gerado é um plano de dimensão 2, com base por exemplo \{(1,2,-1),(-1,1,0)\} e equação x+y+3z=0.

Passo 6

Alínea (f): montar a matriz cujas colunas são w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}.
M_f=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -2\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 1\\[4pt] -1 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}]

Passo 7

Alínea (f): fazer a eliminação por linhas, passo a passo.
  1. Eliminar abaixo do pivô \text{R}_1:
  • \text{R}_2\leftarrow \text{R}_2-2\text{R}_1.
  • \text{R}_3\leftarrow \text{R}_3+\text{R}_1.
Aplicando:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -2\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 1\\[4pt] -1 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} \stackrel{\substack{\text{R}_2-2\text{R}_1\\\ \text{R}_3+\text{R}_1}}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 3 & 0 & 5\\[4pt] 0 & -1 & 2 & -2 \end{pmatrix}
  1. Tornar o pivô da segunda linha igual a 1: \text{R}_2\leftarrow \frac{1}{3}\text{R}_2.
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 3 & 0 & 5\\[4pt] 0 & -1 & 2 & -2 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{5}{3}\\[4pt] 0 & -1 & 2 & -2 \end{pmatrix}
  1. Eliminar a entrada -1 em \text{R}_3 e a entrada -1 em \text{R}_1 na coluna 2 usando \text{R}_2:
  • \text{R}_3\leftarrow \text{R}_3+\text{R}_2.
  • \text{R}_1\leftarrow \text{R}_1+\text{R}_2.
Aplicando:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{5}{3}\\[4pt] 0 & -1 & 2 & -2 \end{pmatrix} \stackrel{\substack{\text{R}_3+\text{R}_2\\\ \text{R}_1+\text{R}_2}}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{5}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 2 & -\tfrac{1}{3} \end{pmatrix}
  1. Finalmente, tornar pivô da terceira linha igual a 1: \text{R}_3\leftarrow \tfrac{1}{2}\text{R}_3.
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{5}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 2 & -\tfrac{1}{3} \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{5}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{6} \end{pmatrix}
Agora a forma reduzida mostra pivôs nas colunas 1, 2 e 3.]

Passo 8

Alínea (f): interpretar o resultado.
  • Há pivôs em três colunas (1, 2 e 3). Isso significa que w_{1},w_{2},w_{3} são linearmente independentes e formam uma base de um subespaço de dimensão 3. Num espaço tridimensional isso já implica que o subespaço é todo \mathbb{R}^{3}.
  • Portanto
    \mathrm{span}\{w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}\}=\mathbb{R}^{3}.
  • (Opcional para compreensão) A coluna 4 da matriz reduzida é \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{3}\\[2pt]\tfrac{5}{3}\\[2pt]-\tfrac{1}{6}\end{pmatrix}, o que corresponde à combinação
    w_{4}=-\tfrac{1}{3}w_{1}+\tfrac{5}{3}w_{2}-\tfrac{1}{6}w_{3},
    mostrando que w_4 é combinação dos três primeiros — consistente com pivôs nas colunas 1,2,3.]

Resposta

e. \mathrm{span}\{(1,2,-1),(-1,1,0)\}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y+3z=0\}
f. \mathbb{R}^{3}

Exercícios relacionados