1. Calcule \mathrm{A}^{25}, utilizando a matriz diagonal, sendo \mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 0 & -1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá a matriz
\mathrm{A}=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}
e pede para calcular \mathrm{A}^{25}. Vou listar claramente o que se pede e os dados úteis:
  • Dado: a matriz \mathrm{A} acima.
  • Pedido: calcular \mathrm{A}^{25} (a matriz \mathrm{A} elevada à potência 25).]

Passo 2

Ideia-chave que vamos usar (explicação didática): se uma matriz \mathrm{A} é diagonalizável, isto é, existe uma matriz inversível \mathrm{P} e uma matriz diagonal \mathrm{D} tais que
\mathrm{A}=\mathrm{P}\,\mathrm{D}\,\mathrm{P}^{-1},
então potências ficam fáceis:
\mathrm{A}^{n}=\mathrm{P}\,\mathrm{D}^{n}\,\mathrm{P}^{-1}.
Aqui \mathrm{D} tem os autovalores (autovalores = raízes do polinômio característico) na diagonal, e \mathrm{D}^{n} é obtida elevando cada entrada da diagonal à potência n. Vamos seguir esse método: encontrar autovalores e autovetores, diagonalizar e usar a propriedade acima.

Passo 3

Calcular os autovalores de \mathrm{A} via o polinômio característico \det(\mathrm{A}-\lambda\mathrm{I})=0:
\det\!\big(\mathrm{A}-\lambda\mathrm{I}\big) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2 \\[4pt] 0 & -1-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(-1-\lambda)-0\cdot2.
Portanto
(1-\lambda)(-1-\lambda)=0.
Das duas raízes obtemos os autovalores
\lambda_1=1,\qquad \lambda_2=-1.]

Passo 4

Como os autovalores \lambda_1 e \lambda_2 são distintos, a matriz 2\times2 é diagonalizável (regra prática: autovalores distintos garantem autovetores linearmente independentes). Agora vamos achar autovetores.
Para \lambda_1=1 resolvemos (\mathrm{A}-\mathrm{I})v=0:
\mathrm{A}-\mathrm{I}=\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix}.
A primeira linha diz 0\cdot x + 2\cdot y=0\Rightarrow y=0. Podemos escolher x=1. Um autovetor associado é
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=-1 resolvemos (\mathrm{A}+ \mathrm{I})v=0:
\mathrm{A}+ \mathrm{I}=\begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
A primeira linha diz 2x+2y=0\Rightarrow x=-y. Escolhendo x=1 obtemos y=-1. Um autovetor é
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Formamos a matriz \mathrm{P} cujas colunas são os autovetores e a matriz diagonal \mathrm{D} com os autovalores na diagonal:
\mathrm{P}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix},\qquad \mathrm{D}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Precisamos de \mathrm{P}^{-1}. Para uma 2\times2 qualquer \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} vale
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando a \mathrm{P} com a=1,b=1,c=0,d=-1 obtemos o determinante ad-bc=(1)(-1)-0\cdot1=-1 e
\mathrm{P}^{-1}=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix}-1 & -1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Observe que \mathrm{P}^{-1}=\mathrm{P} (ou seja, \mathrm{P} é sua própria inversa).]

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas didática): multiplicando \mathrm{P}\,\mathrm{D}\,\mathrm{P}^{-1} obtemos
\mathrm{P}\,\mathrm{D}\,\mathrm{P}^{-1} =\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}=\mathrm{A},
confirmando a diagonalização correta.]

Passo 8

Agora aplicamos a propriedade de potências. Como \mathrm{A}=\mathrm{P}\,\mathrm{D}\,\mathrm{P}^{-1}, temos
\mathrm{A}^{25}=\mathrm{P}\,\mathrm{D}^{25}\,\mathrm{P}^{-1}.
Calculando \mathrm{D}^{25}: basta elevar cada entrada diagonal à potência 25,
\mathrm{D}^{25}=\begin{pmatrix}1^{25} & 0 \\[4pt] 0 & (-1)^{25}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}=\mathrm{D},
pois 1^{25}=1 e (-1)^{25}=-1. Assim \mathrm{D}^{25}=\mathrm{D}.]

Passo 9

Portanto
\mathrm{A}^{25}=\mathrm{P}\,\mathrm{D}^{25}\,\mathrm{P}^{-1}=\mathrm{P}\,\mathrm{D}\,\mathrm{P}^{-1}=\mathrm{A}.
Ou seja, \mathrm{A}^{25} é igual à própria \mathrm{A}. Isso acontece porque os autovalores são 1 e -1, e (-1)^{25}=-1, então a diagonal volta a ser a mesma.

Resposta

\mathrm{A}^{25}=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}]

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