Determine a taxa de variação de:
f(x, y)=\operatorname{sen}(x)+e^{x y} no ponto (0,1) na direção do vetor \vec{v}=(2,5);

Passo 1

O enunciado pede: determinar a taxa de variação de f(x,y)=\operatorname{sen}(x)+e^{x y} no ponto (0,1) na direção do vetor \vec{v}=(2,5).
Informações dadas:
  • Função: f(x,y)=\operatorname{sen}(x)+e^{x y}.
  • Ponto onde avaliaremos a taxa de variação: (0,1).
  • Vetor direção: \vec{v}=(2,5).
O que se quer: a taxa de variação direcional de f em (0,1) na direção de \vec{v} (ou seja, a derivada direcional nessa direção).

Passo 2

Lembrete do conceito e da fórmula que vamos usar (explicado devagarinho):
  • A taxa de variação de f no ponto \mathbf{a}=(x_0,y_0) na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é a derivada direcional, dada por
D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{a})=\nabla f(\mathbf{a})\cdot \mathbf{u}.
  • Aqui \nabla f=(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}) é o vetor gradiente (as derivadas parciais), e \cdot é o produto escalar.
  • Importante: o vetor direção tem de ser unitário. Se é fornecido um vetor \vec{v} qualquer, primeiro normaliza-se: \mathbf{u}=\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}, onde \|\vec{v}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f (cada passo explicado):
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x}: a derivada de \operatorname{sen}(x) em relação a x é \cos(x). Para e^{x y}, trate x y como uma função interna; pela regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}e^{x y}=e^{x y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x y)=e^{x y}\cdot y.
Então
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\cos(x)+y\,e^{x y}.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial y}: \operatorname{sen}(x) não depende de y, logo sua derivada é 0. Para e^{x y},
\frac{\partial}{\partial y}e^{x y}=e^{x y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x y)=e^{x y}\cdot x.
Então
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x\,e^{x y}.

Passo 4

Avaliar as parciais no ponto (0,1):
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,1):
\frac{\partial f}{\partial x}(0,1)=\cos(0)+1\cdot e^{0\cdot1}=\;1+1\;=\;2,
pois \cos(0)=1 e e^{0}=1.
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,1):
\frac{\partial f}{\partial y}(0,1)=0\cdot e^{0\cdot1}=0.
  • Portanto o gradiente no ponto é
\nabla f(0,1)=(2,0).

Passo 5

Normalizar o vetor direção \vec{v}=(2,5):
  • Norma de \vec{v}:
\|\vec{v}\|=\sqrt{2^{2}+5^{2}}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}.
  • Vetor unitário na direção de \vec{v}:
\mathbf{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(\frac{2}{\sqrt{29}},\frac{5}{\sqrt{29}}\right).

Passo 6

Calcular a derivada direcional como o produto escalar \nabla f(0,1)\cdot\mathbf{u}:
\nabla f(0,1)\cdot\mathbf{u}=(2,0)\cdot\left(\frac{2}{\sqrt{29}},\frac{5}{\sqrt{29}}\right) =2\cdot\frac{2}{\sqrt{29}}+0\cdot\frac{5}{\sqrt{29}}=\frac{4}{\sqrt{29}}.

Resposta

\dfrac{4}{\sqrt{29}}

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