Determine a taxa de variação de:
no ponto
na direção do vetor
;
Passo 1
O enunciado pede: determinar a taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
.
Informações dadas:
- Função:
. - Ponto onde avaliaremos a taxa de variação:
. - Vetor direção:
.
O que se quer: a taxa de variação direcional de
em
na direção de
(ou seja, a derivada direcional nessa direção).
Passo 2
Lembrete do conceito e da fórmula que vamos usar (explicado devagarinho):
- A taxa de variação de
no ponto na direção de um vetor unitário é a derivada direcional, dada por
- Aqui
é o vetor gradiente (as derivadas parciais), e é o produto escalar. - Importante: o vetor direção tem de ser unitário. Se é fornecido um vetor
qualquer, primeiro normaliza-se: , onde .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
(cada passo explicado):
- Para
: a derivada de em relação a é . Para , trate como uma função interna; pela regra da cadeia,
Então
- Para
: não depende de , logo sua derivada é . Para ,
Então
Passo 4
Avaliar as parciais no ponto
:
- Calcular
:
pois
e
.
- Calcular
:
- Portanto o gradiente no ponto é
Passo 5
Normalizar o vetor direção
:
- Norma de
:
- Vetor unitário na direção de
:
Passo 6
Calcular a derivada direcional como o produto escalar
: