Considere a função
.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento dessa função, e os pontos de máximo e mínimo local.
Passo 1
Estamos com a função
, que pertence ao conteúdo de derivadas e análise de monotonicidade; para resolver precisamos calcular
, achar seus pontos críticos e estudar o sinal de
.
Passo 2
Derivamos
usando a regra do produto:
com
e
. Então
Passo 3
Juntando termos numa única fração temos
Passo 4
Para achar pontos críticos, resolvemos
no domínio
. Como o denominador é não nulo para
, basta
, ou seja
. Além disso o domínio começa em
, onde
não está definida mas
existe.
Passo 5
Estudamos o sinal de
: para
temos
, logo
(função decresce); para
temos
, logo
(função cresce).
Passo 6
Concluímos que
é decrescente em
e crescente em
. Em
há um ponto de mínimo local, pois a derivada muda de negativa para positiva. Como
é ponto de fronteira onde
é maior que valores próximos à direita, podemos chamá-lo de máximo local de contorno.
Resposta
Intervalos de crescimento:
. Intervalos de decrescimento:
. Ponto de mínimo local:
. Ponto de máximo local (no limite do domínio):
.