Considere a função f(x)=(x-6) raizx.
(1,0) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento dessa função, e os pontos de máximo e mínimo local.

Passo 1

Estamos com a função f(x) = (x - 6)raizx, que pertence ao conteúdo de derivadas e análise de monotonicidade; para resolver precisamos calcular f'(x), achar seus pontos críticos e estudar o sinal de f'.

Passo 2

Derivamos f usando a regra do produto: f(x) = u(x)v(x) com u(x)=x-6 e v(x)=x^1/2. Então
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 1cdot x^1/2 + (x-6)cdottfrac12 x^-1/2 = raizx + x-62raizx

Passo 3

Juntando termos numa única fração temos
f'(x) = 2x + (x-6)2raizx = 3x - 62raizx

Passo 4

Para achar pontos críticos, resolvemos f'(x)=0 no domínio x>=0. Como o denominador é não nulo para x>0, basta 3x-6=0, ou seja x=2. Além disso o domínio começa em x=0, onde f'(x) não está definida mas f existe.

Passo 5

Estudamos o sinal de f'(x)=3x-62raizx: para 0 temos 3x-6<0, logo f'<0 (função decresce); para x>2 temos 3x-6>0, logo f'>0 (função cresce).

Passo 6

Concluímos que f é decrescente em (0,2) e crescente em (2,infty). Em x=2 há um ponto de mínimo local, pois a derivada muda de negativa para positiva. Como x=0 é ponto de fronteira onde f(0)=0 é maior que valores próximos à direita, podemos chamá-lo de máximo local de contorno.

Resposta

Intervalos de crescimento: (2,infty). Intervalos de decrescimento: (0,2). Ponto de mínimo local: l(2,,-4raiz2r). Ponto de máximo local (no limite do domínio): (0,0).

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