Determine a taxa de variação máxima de f no ponto P dado e a direção em que isso ocorre.
f(x, y)=x e^{-y}+y e^{-x}, P=(0,0).

Passo 1

Temos a função
f(x,y)=x\,e^{-y}+y\,e^{-x}
e o ponto P=(0,0). O que o enunciado pede é a taxa de variação máxima de f em P e a direção em que ela ocorre. Para isso, vamos usar o gradiente de f, pois sabemos que a maior variação em um ponto ocorre na direção do vetor gradiente e seu valor é o módulo desse gradiente.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,e^{-y}+y\,e^{-x}\bigr) =e^{-y}-y\,e^{-x}
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,e^{-y}+y\,e^{-x}\bigr) =e^{-x}-x\,e^{-y}

Passo 3

Avaliamos as parciais em P=(0,0):
f_x(0,0)=e^{0}-0\cdot e^{0}=1, \qquad f_y(0,0)=e^{0}-0\cdot e^{0}=1.
Logo o gradiente em P é
\nabla f(0,0)=(1,\,1).

Passo 4

A taxa de variação máxima de f em P é o módulo de \nabla f(0,0):
\|\nabla f(0,0)\|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.
E a direção em que isso ocorre é a do próprio gradiente, ou seja, o vetor unitário
\frac{\nabla f(0,0)}{\|\nabla f(0,0)\|} =\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr).

Resposta

A taxa de variação máxima é \sqrt{2} e ocorre na direção \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr).

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