Determine a taxa de variação máxima de
no ponto
dado e a direção em que isso ocorre.
.
Passo 1
Temos a função
e o ponto
. O que o enunciado pede é a taxa de variação máxima de
em
e a direção em que ela ocorre. Para isso, vamos usar o gradiente de
, pois sabemos que a maior variação em um ponto ocorre na direção do vetor gradiente e seu valor é o módulo desse gradiente.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Avaliamos as parciais em
:
Logo o gradiente em
é
Passo 4
A taxa de variação máxima de
em
é o módulo de
:
E a direção em que isso ocorre é a do próprio gradiente, ou seja, o vetor unitário
Resposta
A taxa de variação máxima é
e ocorre na direção
.