Determine as temperaturas dos pontos de bolha e de orvalho e as correspondentes composições de vapor e de líquido para uma mistura com 30 \% \mathrm{em} \mathrm{mol} de n-hexano, 32 \% em mol de n-heptano e 38 \% em mol de n-octano à pressão total de 1,2 bar.
Dados:
Equação de Antoine na gama de temperaturas de interesse:
\log P^{\text {sat }}(\text { bar })=A-B /(t+C)
Onde t é a temperatura em { }^{\circ} \mathrm{C}.
A B C
n-hexano (1) 4,10014 1170,875 224,317
n-heptano (2) 4,02023 1263,909 216,432
n-octano (3) 4,05075 1356,360 209,635

Passo 1

O enunciado pede:
  • Determinar a temperatura do ponto de bolha e a composição do vapor em equilíbrio com o líquido quando a mistura líquida tem composição molar z_1=0{,}30,\quad z_2=0{,}32,\quad z_3=0{,}38(onde 1 = n-hexano, 2 = n-heptano, 3 = n-octano) à pressão total P = 1{,}2\\ \text{bar}.
  • Determinar a temperatura do ponto de orvalho e a composição do líquido em equilíbrio quando a mistura gasosa tem composição molar y_1=0{,}30,\quad y_2=0{,}32,\quad y_3=0{,}38(ou seja, usar as mesmas frações como composição de vapor para achar o ponto de orvalho) à mesma pressão P=1{,}2\\ \text{bar}.
Dados (equação de Antoine usada para cada componente; t em ^\circC e P^{\text{sat}} em bar):
\log_{10} P^{\text{sat}}(\text{bar}) = A - \frac{B}{t + C}
Tabela dos coeficientes:
\begin{array}{lccc} \text{Componente} & A & B & C\\hline \text{n-hexano (1)} & 4{,}10014 & 1170{,}875 & 224{,}317\\\ \text{n-heptano (2)} & 4{,}02023 & 1263{,}909 & 216{,}432\\\ \text{n-octano (3)} & 4{,}05075 & 1356{,}360 & 209{,}635 \end{array}

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática curta):
  • Para um líquido ideal obedecendo à lei de Raoult, a pressão total numa mistura líquida à temperatura T é P = \sum_{i} x_i\,P_i^{\text{sat}}(T),onde x_i é a fração molar do componente i no líquido e P_i^{\text{sat}}(T) é a pressão de vapor pura do componente i à temperatura T.
    • Interpretação: cada componente “empurra” com a sua pressão de vapor proporcional à sua fração no líquido.
  • O ponto de bolha para uma mistura líquida de composição \{x_i\} à pressão dada P é a temperatura T_{\text{bolha}} que satisfaz a equação anterior. No ponto de bolha forma-se a primeira bolha de vapor; a composição do vapor em equilíbrio é dada por y_i = \frac{x_i\,P_i^{\text{sat}}(T_{\text{bolha}})}{P}.
  • O ponto de orvalho para uma mistura vapor de composição \{y_i\} à pressão P é a temperatura T_{\text{orvalho}} que satisfaz \sum_i \frac{y_i\,P}{P_i^{\text{sat}}(T_{\text{orvalho}})} = 1.
    • Derivação rápida: em equilíbrio y_i P = x_i P_i^{\text{sat}}. Somando x_i=1 leva à equação acima.
    • A composição do líquido em equilíbrio no ponto de orvalho é
    x_i = \frac{y_i\,P}{P_i^{\text{sat}}(T_{\text{orvalho}})}.
  • Para calcular P_i^{\text{sat}}(T) usamos a equação de Antoine: primeiro calculamos \log_{10} P_i^{\text{sat}} = A_i - \frac{B_i}{t + C_i},e depois P_i^{\text{sat}} = 10^{\,A_i - \frac{B_i}{t + C_i}}.(Aqui t é a temperatura em ^\circC e P_i^{\text{sat}} fica em bar.)
Estratégia prática:
  • Para o ponto de bolha: achar T que satisfaz \sum z_i P_i^{\text{sat}}(T) = 1{,}2.
  • Para o ponto de orvalho: tratar \{y_i\}=\{z_i\} e achar T que satisfaz \sum y_i P / P_i^{\text{sat}}(T)=1.
  • Resolver numericamente por tentativas (bisseção/interpolação simples). Vou mostrar as tentativas e calculos passo a passo.

Passo 3

Cálculo das pressões de vapor P_i^{\text{sat}} para tentativas iniciais — tabela de avaliação rápida para achar o intervalo de T_{\text{bolha}}.
Vou calcular P_i^{\text{sat}} em alguns t para ver onde \sum z_i P_i^{\text{sat}}(t) cruza 1{,}2\\ \text{bar}.
Primeira tentativa: t = 100^\circ\mathrm{C}.
Cálculos (cada linha mostra o uso direto de Antoine):
\begin{aligned} \log_{10}P_1^{\text{sat}} &= 4{,}10014 - \frac{1170{,}875}{100 + 224{,}317} = 4{,}10014 - 3{,}6096 \approx 0{,}4905,\\\ P_1^{\text{sat}} &= 10^{0{,}4905}\approx 3{,}096\\ \text{bar}. \end{aligned}
\begin{aligned} \log_{10}P_2^{\text{sat}} &= 4{,}02023 - \frac{1263{,}909}{100 + 216{,}432} \approx 4{,}02023 - 3{,}9956 = 0{,}0246,\\\ P_2^{\text{sat}} &\approx 10^{0{,}0246}\approx 1{,}058\\ \text{bar}. \end{aligned}
\begin{aligned} \log_{10}P_3^{\text{sat}} &= 4{,}05075 - \frac{1356{,}360}{100 + 209{,}635} \approx 4{,}05075 - 4{,}3810 = -0{,}3303,\\\ P_3^{\text{sat}} &\approx 10^{-0{,}3303}\approx 0{,}468\\ \text{bar}. \end{aligned}
Agora a soma ponderada com z:
\sum z_i P_i^{\text{sat}} = 0{,}30\cdot 3{,}096 + 0{,}32\cdot 1{,}058 + 0{,}38\cdot 0{,}468 \approx 1{,}445\\ \text{bar}.
Como 1{,}445>1{,}2, a temperatura de bolha é menor que 100^\circ\mathrm{C}.
Segunda tentativa: t=90^\circ\mathrm{C}.
Calculei (resumo):
P_1^{\text{sat}}\approx 2{,}373\\ \text{bar},\quad P_2^{\text{sat}}\approx 0{,}784\\ \text{bar},\quad P_3^{\text{sat}}\approx 0{,}333\\ \text{bar}.
Soma ponderada:
\sum z_i P_i^{\text{sat}} \approx 0{,}30\cdot2{,}373 + 0{,}32\cdot0{,}784 + 0{,}38\cdot0{,}333 \approx 1{,}089\\ \text{bar}.
Como 1{,}089<1{,}2, a temperatura de bolha está entre 90^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Aperfeiçoando o valor de T_{\text{bolha}} por interpolação/iteração entre 90^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C}.
Teste em t=94^\circ\mathrm{C}:
P_1^{\text{sat}}\approx 2{,}650\\ \text{bar},\quad P_2^{\text{sat}}\approx 0{,}888\\ \text{bar},\quad P_3^{\text{sat}}\approx 0{,}383\\ \text{bar}.
Soma: \sum z_i P_i^{\text{sat}}\approx 1{,}225\\ \text{bar} (ligeiramente acima de 1{,}2).
Teste em t=93^\circ\mathrm{C}:
P_1^{\text{sat}}\approx 2{,}577,\quad P_2^{\text{sat}}\approx 0{,}859,\quad P_3^{\text{sat}}\approx 0{,}371,
Soma: \approx 1{,}189\\ \text{bar} (ligeiramente abaixo de 1{,}2).
Fazendo interpolação linear entre t=93^\circ\mathrm{C} (soma 1{,}189) e t=94^\circ\mathrm{C} (soma 1{,}225):
  • Diferença nas somas = 0{,}036 por 1^\circC.
  • Precisamos de aumento de 1{,}2-1{,}189=0{,}011, logo a correção em t é 0{,}011/0{,}036\approx 0{,}31^\circC.
    Portanto:
t_{\text{bolha}}\approx 93{,}00 + 0{,}31 \approx 93{,}31^\circ\mathrm{C}.
Calculei P_i^{\text{sat}} com t=93{,}31^\circ\mathrm{C} para fechar com mais precisão:
P_1^{\text{sat}}\approx 2{,}596\\ \text{bar},\quad P_2^{\text{sat}}\approx 0{,}871\\ \text{bar},\quad P_3^{\text{sat}}\approx 0{,}3747\\ \text{bar},
e então
\sum z_i P_i^{\text{sat}} \approx 0{,}3\cdot2{,}596 + 0{,}32\cdot0{,}871 + 0{,}38\cdot0{,}3747 \approx 1{,}200\\ \text{bar},
confirmando t_{\text{bolha}}\approx 93{,}31^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Composição do vapor no ponto de bolha (usando y_i = x_i P_i^{\text{sat}}/P com x_i=z_i e P=1{,}2\\ \text{bar}):
Com t_{\text{bolha}}=93{,}31^\circ\mathrm{C} e os P_i^{\text{sat}} calculados:
\begin{aligned} y_1 &= \frac{0{,}30\cdot 2{,}596}{1{,}2} \approx \frac{0{,}7788}{1{,}2} \approx 0{,}649,\\\ y_2 &= \frac{0{,}32\cdot 0{,}871}{1{,}2} \approx \frac{0{,}2787}{1{,}2} \approx 0{,}2323,\\\ y_3 &= \frac{0{,}38\cdot 0{,}3747}{1{,}2} \approx \frac{0{,}1424}{1{,}2} \approx 0{,}1187. \end{aligned}
Verificação: y_1+y_2+y_3\approx 1{,}000 (arredondamentos mínimos).
Interpretação (em porcentagem molar):
y_1\approx 64{,}9\%,\quad y_2\approx 23{,}2\%,\quad y_3\approx 11{,}9\%.

Passo 6

Agora o ponto de orvalho: usar y_i = 0{,}30,\;0{,}32,\;0{,}38 como composição do vapor e achar t_{\text{orvalho}} tal que
\sum_i \frac{y_i P}{P_i^{\text{sat}}(t_{\text{orvalho}})} = 1.
Vou avaliar a soma em algumas temperaturas para localizar a raiz.
Teste rápido em t=110^\circ\mathrm{C}:
  • Calculados previamente: P_1^{\text{sat}}\approx 3{,}95,\quad P_2^{\text{sat}}\approx 1{,}40,\quad P_3^{\text{sat}}\approx 0{,}64\\ \text{bar}.
  • Soma: \sum \frac{y_i P}{P_i^{\text{sat}}} = \frac{0{,}30\cdot1{,}2}{3{,}95} + \frac{0{,}32\cdot1{,}2}{1{,}40} + \frac{0{,}38\cdot1{,}2}{0{,}64} \approx 1{,}078 > 1.
Teste em t=120^\circ\mathrm{C}:
P_1^{\text{sat}}\approx 5{,}00,\quad P_2^{\text{sat}}\approx 1{,}836,\quad P_3^{\text{sat}}\approx 0{,}860,
soma \approx 0{,}811 < 1. Então t_{\text{orvalho}} está entre 110^\circC e 120^\circC.

Passo 7

Aproximação por interpolação e refinamento:
Avaliação em t=112{,}0^\circ\mathrm{C}:
P_1^{\text{sat}}\approx 4{,}177,\quad P_2^{\text{sat}}\approx 1{,}484,\quad P_3^{\text{sat}}\approx 0{,}679,
\sum \frac{y_i P}{P_i^{\text{sat}}} \approx 1{,}0168\\ (>1).
Avaliação em t=112{,}9^\circ\mathrm{C} (aprox.):
P_1^{\text{sat}}\approx 4{,}244,\quad P_2^{\text{sat}}\approx 1{,}520,\quad P_3^{\text{sat}}\approx 0{,}703,
\sum \frac{y_i P}{P_i^{\text{sat}}} \approx 0{,}9863\\ (<1).
Interpolando entre 112{,}0^\circC (soma 1{,}0168) e 112{,}9^\circC (soma 0{,}9863):
  • Diferença nas somas \approx -0{,}0305 por \,0{,}9^\circC.
  • Precisamos mover desde 1{,}0168 até 1{,}0: redução 0{,}0168 que corresponde a \sim 0{,}50^\circC.
    Assim:
t_{\text{orvalho}}\approx 112{,}0 + 0{,}50 \approx 112{,}50^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Calcule P_i^{\text{sat}}(112{,}50^\circ\mathrm{C}) e a composição do líquido em equilíbrio x_i no ponto de orvalho.
Usando Antoine em t=112{,}50^\circ\mathrm{C}:
P_1^{\text{sat}}\approx 4{,}210\\ \text{bar},\quad P_2^{\text{sat}}\approx 1{,}501\\ \text{bar},\quad P_3^{\text{sat}}\approx 0{,}692\\ \text{bar}.
Usando x_i = \dfrac{y_i P}{P_i^{\text{sat}}}:
\begin{aligned} x_1 &= \frac{0{,}30\cdot1{,}2}{4{,}210} \approx \frac{0{,}36}{4{,}210}\approx 0{,}0855,\\[4pt] x_2 &= \frac{0{,}32\cdot1{,}2}{1{,}501} \approx \frac{0{,}384}{1{,}501}\approx 0{,}2558,\\[4pt] x_3 &= \frac{0{,}38\cdot1{,}2}{0{,}692} \approx \frac{0{,}456}{0{,}692}\approx 0{,}6592. \end{aligned}
Verificação da soma: x_1+x_2+x_3\approx 1{,}0006 (diferença por arredondamento). Normalizando ligeiramente dá
x_1\approx 0{,}0855,\quad x_2\approx 0{,}2556,\quad x_3\approx 0{,}6589,
ou em porcentagem molar aproximada:
x_1\approx 8{,}55\%,\quad x_2\approx 25{,}6\%,\quad x_3\approx 65{,}9\%.]

Resposta

Ponto de bolha: t_{\text{bolha}}\approx 93{,}31^\circ\mathrm{C}
Composição do vapor em equilíbrio no ponto de bolha: y_1\approx 0{,}649,\; y_2\approx 0{,}232,\; y_3\approx 0{,}119.
Ponto de orvalho: t_{\text{orvalho}}\approx 112{,}50^\circ\mathrm{C}
Composição do líquido em equilíbrio no ponto de orvalho: x_1\approx 0{,}0855,\; x_2\approx 0{,}2556,\; x_3\approx 0{,}6589.

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