A volatilidade relativa,
, do benzeno em relação ao tolueno a 1 atm é de 2,5 . Construa um diagrama yx para este sistema a 1 atm . Repita a construção utilizando dados de pressão de vapor para o benzeno e para o tolueno (tabela abaixo) em conjunção com as leis de Raoult e Dalton. Construa também um diagrama Txy para o sistema e responda as questões abaixo:
a. Um líquido contendo
em molde benzeno e
de tolueno é aquecido em um recipiente a 1 atm até que
em mol da mistura original seja evaporada. Determine a que temperatura é preciso aquecer a mistura para atender esta condição.
b. Considerando que as fases são separadas mecanicamente e que o vapor se condensa, determine a composição do vapor condensado e do líquido residual.
c. Calcule e trace um diagrama dos K-valores em função da temperatura a 1 atm . Que conclusões podemos tirar deste resultado?
Table 1: Tabela 01: dados de pressão de vapor para o tolueno\captionsetup{labelformat=empty}
Pressão de vapor (torr)
20
40
60
100
200
400
760
Temperatura
18,4
31,8
40,3
51,9
69,5
89,5
110,6
Table 2: Tabela 02: dados de pressão de vapor para o benzeno\captionsetup{labelformat=empty}
Pressão de vapor (torr)
20
40
60
100
200
400
760
Benzeno
7,6
15,4
26,1
42,2
60,6
80,1
a. Um líquido contendo
b. Considerando que as fases são separadas mecanicamente e que o vapor se condensa, determine a composição do vapor condensado e do líquido residual.
c. Calcule e trace um diagrama dos K-valores em função da temperatura a 1 atm . Que conclusões podemos tirar deste resultado?
Table 1: Tabela 01: dados de pressão de vapor para o tolueno
\captionsetup{labelformat=empty}
| Pressão de vapor (torr) | 20 | 40 | 60 | 100 | 200 | 400 | 760 |
| Temperatura
|
18,4 | 31,8 | 40,3 | 51,9 | 69,5 | 89,5 | 110,6 |
Table 2: Tabela 02: dados de pressão de vapor para o benzeno
\captionsetup{labelformat=empty}
| Pressão de vapor (torr) | 20 | 40 | 60 | 100 | 200 | 400 | 760 |
| Benzeno
|
|
7,6 | 15,4 | 26,1 | 42,2 | 60,6 | 80,1 |
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos (peguei estes dados das tabelas enviadas).
- O sistema é binário: benzeno (B) e tolueno (T) a pressão total
. - Foi dada a volatilidade relativa constante aproximada
(benzeno/tolueno) para construção inicial do diagrama vs . - Foram fornecidas duas tabelas de pressão de vapor (dados empíricos): para vários valores de pressão (torr) aparecem as temperaturas correspondentes para benzeno e para tolueno. Vou usar esses dados para obter
por interpolação linear no intervalo relevante (peguei os pares das duas tabelas). - O enunciado pede:
a) Para uma mistura líquida inicial com fração molar(benzeno) e , aquecida a até que em mol da mistura original tenha evaporado (isto é, fração vaporizada em base molar), determinar a temperatura necessária para que isso ocorra (ou seja, encontrar o equilíbrio vapor–líquido que produz ).
b) Supondo que as fases em equilíbrio sejam separadas mecanicamente e o vapor condensado recolhido, determinar a composição do vapor condensado e a composição do líquido residual (apresente as frações molares de benzeno e tolueno).
c) Calcular e traçar (apresentar tabela/valores) os valores de(razão de equilíbrio) em função da temperatura a e dizer as conclusões sobre esse resultado.
Informações úteis que vou usar:
- Lei de Raoult (mistura ideal):
. - Lei de Dalton para mistura de vapores ideal:
. - Definição de constante de equilíbrio (K-valor):
. - Equilíbrio de material (balanço global para componente
num flash simples, com alimentação inicial toda líquida de composição e fração vaporizada ): - Da equação acima e de
, obtém-se para cada componente: - Para o par binário a condição de consistência é
. Como , e , vou usar as tabelas para obter , calcular e achar a temperatura que torna . Quando isso ocorrer teremos o equilíbrio requerido; então calculo e .
Passo 2
Explicando com calma as leis e conceitos que usarei (aula prática e rápida):
- Lei de Raoult: em mistura ideal, cada componente exerce na fase vapor uma pressão parcial igual à sua fração molar na fase líquida multiplicada pela pressão de vapor saturada:
. A pressão total é . - Lei de Dalton: a fração molar do vapor é
. Combinando com Raoult: Assim é conhecido assim que soubermos e . - Para um processo de vaporização parcial (flash) com alimentação líquida e separação mecânica, a equação de balanço para cada componente é:
que dá Como é binário, preciso ainda que . Com , e conhecidos, isto fornece uma equação para (pois dependem de ). - Estratégia prática para encontrar
: usar os dados experimentais das tabelas (peguei os pares fornecidos) e, para um dado , estimar por interpolação linear os valores de e (torr). Então calcular e , obter e pelas fórmulas acima e verificar se . Ajustar até satisfazer a condição (procedimento iterativo simples — vou fazer busca por tentativa linear/interpolação).
Passo 3
Como extrai os dados das tabelas e como interpolei (muito importante):
- Das tabelas peguei os pares (para cada componente) em que é dado o valor da pressão de vapor (torr) e a temperatura
. Transformei esses pares para obter uma relação aproximada vs por interpolação linear por segmentos entre os pontos tabulados. Ou seja, entre dois pontos e usei: Esta interpolação linear em cada pequeno intervalo é uma aproximação usual quando não se pede ajuste fino com equações de Antoine. - Observação: para T acima do último ponto tabulado para cada substância (por ex. para benzeno o ponto de 760 torr corresponde a
), eu extrapolei linearmente pelo último segmento — isto é uma aproximação grosseira, mas suficiente para um cálculo didático e razoável aqui. Sempre deixei explícito quando utilizei valores diretamente das tabelas (por exemplo, para a tabela dá — peguei esse número da tabela).
Passo 4
Aplicando a formulação ao caso numérico (flash com
,
,
):
- Fórmulas que usarei diretamente:
e preciso da condição
- Para calcular
faço , com obtido por interpolação conforme explicado.
Vou mostrar algumas avaliações por tentativa para encontrar onde
(a ideia é ver o comportamento e convergir para a raiz).
Passos de tentativa (algumas interpolações e cálculos; explico cada valor para que você refaça na prova se precisar):
- Teste em
(valor exato da tabela para benzeno: ; para tolueno estimei por interpolação entre os pontos de tabela da tolueno): - Peguei da tabela para benzeno:
. - Para tolueno, interpolei entre
e : em obtive aproximadamente . - Então
e . - Calculando
e :
- Peguei da tabela para benzeno:
Soma \(x_B+x_T\approx1{,}17>1\) ⇒ \(F(60{,}6^\circ\mathrm{C})>0\). Isso significa que K's são ainda pequenos; para reduzir a soma até 1 precisamos aumentar \(T\) (aumentando \(P_i^{\text{sat}}\) e os \(K_i\)).
-
Teste em
(interpolando tabelas): - Para benzeno: interpolei entre
(400 torr) e (760 torr) e obtive . - Para tolueno: entre
(200 torr) e (400 torr) obtive . - Então
soma . Ainda → subir T.
- Para benzeno: interpolei entre
-
Teste em
: - Para benzeno a tabela dá
. - Para tolueno, interpolei e obtive
. - Então
- Para benzeno a tabela dá
Soma \(\approx1{,}053>1\). Ainda \(F>0\) → continuar subindo \(T\).
-
Teste em
(extrapolando levemente o último segmento das tabelas): - Extrapolei
(extrapolação linear do último segmento da tabela de benzeno). - Para tolueno
. - Cálculos:
Soma . Muito perto de 1; estamos quase lá.
- Extrapolei
-
Teste em
(extrapolando): - Estimei
. - Estimei
. - Cálculo:
Soma . Agora . Assim a raiz está entre e .
- Estimei
Passo 5
Interpolação final para achar
com precisão razoável (procedimento numérico simples):
- A soma
deu aproximadamente em e em . Supondo variação quase linear de nesse intervalo, fazemos interpolação linear para :
- Portanto a temperatura de equilíbrio requerida é aproximadamente
Observação: usei as interpolações lineares mencionadas anteriormente sobre os dados da tabela para estimar
em cada tentativa. O número final tem precisão compatível com essas aproximações (uma variação de ±0,5–1,0 °C seria razoável dadas as extrapolações).
Passo 6
Encontrando as composições de equilíbrio (aplicando os
-valores correspondentes a
):
- Peguei por interpolação dos dados:
-
(peguei esse valor aproximado por extrapolação/interpolação entre pontos tabulados para benzeno) -
(peguei este valor por interpolação entre os pontos da tabela do tolueno)
-
- Calculando
-composições líquidas:
- Calculando composição do vapor em equilíbrio (antes da condensação):
- Interpretação prática: se a mistura líquida inicial foi aquecida até que
dos mols tenham evaporado em equilíbrio a , então o líquido residual tem composição benzeno / tolueno (mol/mol) e o vapor gerado (portanto, o vapor que ao condensar fornece o condensado) tem composição benzeno / tolueno.
Passo 7
Observações sobre condensação e o que se pede em (b):
- O enunciado diz que as fases são separadas mecanicamente e o vapor se condensa: o condensado será essencialmente uma fase líquida com a composição igual à composição do vapor no equilíbrio (se a condensação for total e não ocorrer fracionamento durante a condensação). Portanto, o condensado terá
-composição convertida em líquido: . - O líquido residual (o que ficou no vaso depois da retirada do vapor) mantém a composição
calculada acima.
Passo 8
Cálculo e traçado dos
-valores em função da temperatura (parte c):
-
Definição e cálculo:
com . Usando os dados da tabela e interpolando/extrapolando conforme necessário, estimei e em temperaturas representativas. Abaixo dou uma tabela com valores representativos (valores arredondados; os foram obtidos por interpolação linear entre os pontos tabelados): -
Em
: - peguei
. - peguei
. -
- peguei
-
Em
: - da tabela
. - interpolando para tolueno
. -
- da tabela
-
Em
: - tabela:
. - interpolando para tolueno
. -
- tabela:
-
Em
(extrapolando): - estimei
. - estimei
. -
- estimei
-
-
Conclusões que tiramos desses cálculos (resumindo o comportamento dos
-valores): - Ambos
e aumentam com a temperatura (pois cresce com ). Assim a tendência é: quanto maior , mais volátil cada componente se torna em relação à pressão total fixa . - O benzeno tem sempre
no intervalo considerado, o que confirma que benzeno é mais volátil que tolueno (como esperado). - A volatilidade relativa
diminui com o aumento da temperatura (ex.: em caindo para em ). Isso indica que a separação por destilação é mais fácil (maior diferença de volatilidade) a temperaturas mais baixas; a separação fica mais difícil à medida que a temperatura sobe porque os -valores se aproximam (α tende a 1). - Em particular, usar
constant = é apenas uma aproximação válida numa faixa próxima a (onde achamos ), mas não é exata para toda a faixa de temperatura — portanto, para cálculos quantitativos é preferível usar reais e calcular explicitamente.
- Ambos
Passo 9
Resumindo o método que você pode usar na prova (passo a passo prático que repete o cálculo):
- Escreva as equações:
e . - A partir dos dados da tabela, construa (ou interpole)
em cada de interesse. - Para o
dado (aqui ), calcule e e imponha . Isso dá uma equação só em . - Solve por tentativa/iteração (bissecção ou interpolação linear entre duas temperaturas onde a soma muda de sinal) até a precisão desejada.
- Com
encontrado, calcule e . Isso responde às partes (a) e (b). - Para (c) calcule
em uma grade de temperaturas (usar as tabelas para ) e plote vs (ou apenas faça uma tabela se não der para plotar). Observe a tendência de .
Resposta
Temperatura necessária:
Composições no equilíbrio (para
e
):
- Composição do líquido residual:
- Composição do vapor (que ao condensar dá o condensado):
K-valores (exemplos representativos) e conclusão:
Conclusões:
aumentam com
; o benzeno é sempre mais volátil (
); a volatilidade relativa
diminui com
, tornando a separação por destilação mais fácil em temperaturas mais baixas.