A volatilidade relativa, \alpha, do benzeno em relação ao tolueno a 1 atm é de 2,5 . Construa um diagrama yx para este sistema a 1 atm . Repita a construção utilizando dados de pressão de vapor para o benzeno e para o tolueno (tabela abaixo) em conjunção com as leis de Raoult e Dalton. Construa também um diagrama Txy para o sistema e responda as questões abaixo:
a. Um líquido contendo 70 \% em molde benzeno e 30 \% de tolueno é aquecido em um recipiente a 1 atm até que 25 \% em mol da mistura original seja evaporada. Determine a que temperatura é preciso aquecer a mistura para atender esta condição.
b. Considerando que as fases são separadas mecanicamente e que o vapor se condensa, determine a composição do vapor condensado e do líquido residual.
c. Calcule e trace um diagrama dos K-valores em função da temperatura a 1 atm . Que conclusões podemos tirar deste resultado?
Table 1: Tabela 01: dados de pressão de vapor para o tolueno
\captionsetup{labelformat=empty}
Pressão de vapor (torr) 20 40 60 100 200 400 760
Temperatura \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) 18,4 31,8 40,3 51,9 69,5 89,5 110,6
Table 2: Tabela 02: dados de pressão de vapor para o benzeno
\captionsetup{labelformat=empty}
Pressão de vapor (torr) 20 40 60 100 200 400 760
Benzeno \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) -2,6 7,6 15,4 26,1 42,2 60,6 80,1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos (peguei estes dados das tabelas enviadas).
  • O sistema é binário: benzeno (B) e tolueno (T) a pressão total \,P=1\\ \text{atm}=760\\ \text{torr}.
  • Foi dada a volatilidade relativa constante aproximada \alpha=2{,}5 (benzeno/tolueno) para construção inicial do diagrama y vs x.
  • Foram fornecidas duas tabelas de pressão de vapor (dados empíricos): para vários valores de pressão (torr) aparecem as temperaturas correspondentes para benzeno e para tolueno. Vou usar esses dados para obter P_i^{\text{sat}}(T) por interpolação linear no intervalo relevante (peguei os pares (T,P) das duas tabelas).
  • O enunciado pede:
    a) Para uma mistura líquida inicial com fração molar z_B=0{,}70 (benzeno) e z_T=0{,}30, aquecida a P=1\\ \text{atm} até que 25\% em mol da mistura original tenha evaporado (isto é, fração vaporizada V=0{,}25 em base molar), determinar a temperatura necessária para que isso ocorra (ou seja, encontrar o equilíbrio vapor–líquido que produz V=0{,}25).
    b) Supondo que as fases em equilíbrio sejam separadas mecanicamente e o vapor condensado recolhido, determinar a composição do vapor condensado e a composição do líquido residual (apresente as frações molares de benzeno e tolueno).
    c) Calcular e traçar (apresentar tabela/valores) os valores de K (razão de equilíbrio) em função da temperatura a 1\\ \text{atm} e dizer as conclusões sobre esse resultado.
Informações úteis que vou usar:
  • Lei de Raoult (mistura ideal): \displaystyle y_i=\dfrac{P_i^{\text{sat}}(T)\,x_i}{P}.
  • Lei de Dalton para mistura de vapores ideal: \displaystyle \sum_i y_i = 1.
  • Definição de constante de equilíbrio (K-valor): \displaystyle K_i=\dfrac{y_i}{x_i}=\dfrac{P_i^{\text{sat}}(T)}{P}.
  • Equilíbrio de material (balanço global para componente i num flash simples, com alimentação inicial toda líquida de composição z_i e fração vaporizada V): z_i = (1-V)\,x_i + V\,y_i.
  • Da equação acima e de y_i=K_i x_i, obtém-se para cada componente: x_i = \frac{z_i}{(1-V)+V K_i(T)}.
  • Para o par binário a condição de consistência é x_B + x_T = 1. Como z_B=0{,}70, z_T=0{,}30 e V=0{,}25, vou usar as tabelas para obter P_i^{\text{sat}}(T), calcular K_i(T)=P_i^{\text{sat}}(T)/760 e achar a temperatura T que torna x_B(T)+x_T(T)=1. Quando isso ocorrer teremos o equilíbrio requerido; então calculo x_i e y_i.

Passo 2

Explicando com calma as leis e conceitos que usarei (aula prática e rápida):
  • Lei de Raoult: em mistura ideal, cada componente exerce na fase vapor uma pressão parcial igual à sua fração molar na fase líquida multiplicada pela pressão de vapor saturada: \,p_i = x_i P_i^{\text{sat}}(T). A pressão total é \,P=\sum_i p_i.
  • Lei de Dalton: a fração molar do vapor é y_i = p_i/P. Combinando com Raoult: y_i = \frac{x_i P_i^{\text{sat}}(T)}{P} \quad\Longrightarrow\quad K_i(T)=\frac{P_i^{\text{sat}}(T)}{P}.Assim K_i(T) é conhecido assim que soubermos P_i^{\text{sat}}(T) e P.
  • Para um processo de vaporização parcial (flash) com alimentação líquida e separação mecânica, a equação de balanço para cada componente é: z_i = (1-V)x_i + V y_i = x_i\big[(1-V) + V K_i(T)\big],que dá x_i(T) = \frac{z_i}{(1-V)+V K_i(T)}.Como é binário, preciso ainda que x_B+x_T=1. Com z_B, z_T e V conhecidos, isto fornece uma equação para T (pois K_i dependem de T).
  • Estratégia prática para encontrar T: usar os dados experimentais das tabelas (peguei os pares (P\\ \text{(torr)},T\\ ^\circ\mathrm{C}) fornecidos) e, para um dado T, estimar por interpolação linear os valores de P_B^{\text{sat}}(T) e P_T^{\text{sat}}(T) (torr). Então calcular K_B(T)=P_B^{\text{sat}}(T)/760 e K_T(T)=P_T^{\text{sat}}(T)/760, obter x_B(T) e x_T(T) pelas fórmulas acima e verificar se x_B+x_T=1. Ajustar T até satisfazer a condição (procedimento iterativo simples — vou fazer busca por tentativa linear/interpolação).

Passo 3

Como extrai os dados das tabelas e como interpolei (muito importante):
  • Das tabelas peguei os pares (para cada componente) em que é dado o valor da pressão de vapor (torr) e a temperatura ^\circ\mathrm{C}. Transformei esses pares para obter uma relação aproximada P_i^{\text{sat}} vs T por interpolação linear por segmentos entre os pontos tabulados. Ou seja, entre dois pontos (T_1,P_1) e (T_2,P_2) usei: P(T) \approx P_1 + (T-T_1)\frac{P_2-P_1}{T_2-T_1}.Esta interpolação linear em cada pequeno intervalo é uma aproximação usual quando não se pede ajuste fino com equações de Antoine.
  • Observação: para T acima do último ponto tabulado para cada substância (por ex. para benzeno o ponto de 760 torr corresponde a 80{,}1^\circ\mathrm{C}), eu extrapolei linearmente pelo último segmento — isto é uma aproximação grosseira, mas suficiente para um cálculo didático e razoável aqui. Sempre deixei explícito quando utilizei valores diretamente das tabelas (por exemplo, para T=60{,}6^\circ\mathrm{C} a tabela dá P_B^{\text{sat}}=400\\ \text{torr} — peguei esse número da tabela).

Passo 4

Aplicando a formulação ao caso numérico (flash com z_B=0{,}70, z_T=0{,}30, V=0{,}25):
  • Fórmulas que usarei diretamente: x_B(T)=\frac{0{,}70}{(1-0{,}25)+0{,}25\,K_B(T)}=\frac{0{,}70}{0{,}75+0{,}25\,K_B(T)},
x_T(T)=\frac{0{,}30}{0{,}75+0{,}25\,K_T(T)},
e preciso da condição
F(T)\equiv x_B(T)+x_T(T)-1=0.
  • Para calcular K_i(T) faço K_i(T)=P_i^{\text{sat}}(T)/760, com P_i^{\text{sat}}(T) obtido por interpolação conforme explicado.
Vou mostrar algumas avaliações por tentativa para encontrar onde F(T)=0 (a ideia é ver o comportamento e convergir para a raiz).
Passos de tentativa (algumas interpolações e cálculos; explico cada valor para que você refaça na prova se precisar):
  1. Teste em T\approx 60{,}6^\circ\mathrm{C} (valor exato da tabela para benzeno: P_B^{\text{sat}}=400\\ \text{torr}; para tolueno estimei P_T^{\text{sat}} por interpolação entre os pontos de tabela da tolueno):
    • Peguei da tabela para benzeno: \,P_B^{\text{sat}}(60{,}6^\circ\mathrm{C})=400\\ \text{torr}.
    • Para tolueno, interpolei entre (51{,}9^\circ\mathrm{C},100) e (69{,}5^\circ\mathrm{C},200): em 60^\circ obtive aproximadamente P_T^{\text{sat}}\approx146\\ \text{torr}.
    • Então K_B\approx400/760=0{,}526 e K_T\approx146/760=0{,}192.
    • Calculando x_B e x_T: x_B=\frac{0{,}70}{0{,}75+0{,}25(0{,}526)}\approx\frac{0{,}70}{0{,}8815}\approx0{,}794,
x_T=\frac{0{,}30}{0{,}75+0{,}25(0{,}192)}\approx\frac{0{,}30}{0{,}798}\approx0{,}376.
 Soma \(x_B+x_T\approx1{,}17>1\) ⇒ \(F(60{,}6^\circ\mathrm{C})>0\). Isso significa que K's são ainda pequenos; para reduzir a soma até 1 precisamos aumentar \(T\) (aumentando \(P_i^{\text{sat}}\) e os \(K_i\)).
  1. Teste em T\approx70^\circ\mathrm{C} (interpolando tabelas):
    • Para benzeno: interpolei entre 60{,}6^\circ\mathrm{C} (400 torr) e 80{,}1^\circ\mathrm{C} (760 torr) e obtive P_B^{\text{sat}}(70)\approx574\\ \text{torr}\Rightarrow K_B\approx0{,}755.
    • Para tolueno: entre 69{,}5^\circ\mathrm{C} (200 torr) e 89{,}5^\circ\mathrm{C} (400 torr) obtive P_T^{\text{sat}}(70)\approx205\\ \text{torr}\Rightarrow K_T\approx0{,}270.
    • Então x_B\approx\frac{0{,}70}{0{,}75+0{,}25(0{,}755)}\approx0{,}746,\qquad x_T\approx\frac{0{,}30}{0{,}75+0{,}25(0{,}270)}\approx0{,}367,soma \approx1{,}113>1. Ainda F>0 → subir T.
  2. Teste em T\approx80^\circ\mathrm{C}:
    • Para benzeno a tabela dá P_B^{\text{sat}}(80{,}1^\circ\mathrm{C})=760\\ \text{torr}\Rightarrow K_B\approx1{,}000.
    • Para tolueno, interpolei e obtive P_T^{\text{sat}}(80)\approx305\\ \text{torr}\Rightarrow K_T\approx0{,}401.
    • Então x_B=\frac{0{,}70}{0{,}75+0{,}25(1{,}000)}=\frac{0{,}70}{1{,}000}=0{,}700,
x_T\approx\frac{0{,}30}{0{,}75+0{,}25(0{,}401)}\approx0{,}353.
 Soma \(\approx1{,}053>1\). Ainda \(F>0\) → continuar subindo \(T\).
  1. Teste em T\approx85^\circ\mathrm{C} (extrapolando levemente o último segmento das tabelas):
    • Extrapolei P_B^{\text{sat}}(85)\approx850\\ \text{torr}\Rightarrow K_B\approx1{,}119 (extrapolação linear do último segmento da tabela de benzeno).
    • Para tolueno P_T^{\text{sat}}(85)\approx355\\ \text{torr}\Rightarrow K_T\approx0{,}467.
    • Cálculos: x_B\approx\frac{0{,}70}{0{,}75+0{,}25(1{,}119)}\approx0{,}680,\qquad x_T\approx\frac{0{,}30}{0{,}75+0{,}25(0{,}467)}\approx0{,}346.Soma \approx1{,}026>1. Muito perto de 1; estamos quase lá.
  2. Teste em T\approx92^\circ\mathrm{C} (extrapolando):
    • Estimei P_B^{\text{sat}}(92)\approx980\\ \text{torr}\Rightarrow K_B\approx1{,}289.
    • Estimei P_T^{\text{sat}}(92)\approx443\\ \text{torr}\Rightarrow K_T\approx0{,}583.
    • Cálculo: x_B\approx\frac{0{,}70}{0{,}75+0{,}25(1{,}289)}\approx0{,}653,\qquad x_T\approx\frac{0{,}30}{0{,}75+0{,}25(0{,}583)}\approx0{,}335.Soma \approx0{,}988<1. Agora F<0. Assim a raiz está entre 85^\circ\mathrm{C} e 92^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Interpolação final para achar T com precisão razoável (procedimento numérico simples):
  • A soma S(T)=x_B(T)+x_T(T) deu aproximadamente 1{,}026 em 85^\circ\mathrm{C} e 0{,}988 em 92^\circ\mathrm{C}. Supondo variação quase linear de S nesse intervalo, fazemos interpolação linear para S(T)=1: T \approx 85^\circ\mathrm{C} + (92-85)\frac{1-1{,}026}{0{,}988-1{,}026}
=85 + 7\cdot\frac{-0{,}026}{-0{,}038}\approx85 + 7\cdot0{,}684\approx85 + 4{,}79\approx89{,}8^\circ\mathrm{C}.
  • Portanto a temperatura de equilíbrio requerida é aproximadamente \displaystyle T\approx 89{,}8^\circ\mathrm{C}.
Observação: usei as interpolações lineares mencionadas anteriormente sobre os dados da tabela para estimar P_i^{\text{sat}}(T) em cada tentativa. O número final tem precisão compatível com essas aproximações (uma variação de ±0,5–1,0 °C seria razoável dadas as extrapolações).

Passo 6

Encontrando as composições de equilíbrio (aplicando os K-valores correspondentes a T\approx89{,}8^\circ\mathrm{C}):
  • Peguei por interpolação dos dados:
    • P_B^{\text{sat}}(89{,}8^\circ\mathrm{C})\approx939\\ \text{torr}\Rightarrow K_B\approx939/760\approx1{,}235. (peguei esse valor aproximado por extrapolação/interpolação entre pontos tabulados para benzeno)
    • P_T^{\text{sat}}(89{,}8^\circ\mathrm{C})\approx405\\ \text{torr}\Rightarrow K_T\approx405/760\approx0{,}533. (peguei este valor por interpolação entre os pontos da tabela do tolueno)
  • Calculando x-composições líquidas: x_B=\frac{0{,}70}{0{,}75+0{,}25(1{,}235)}=\frac{0{,}70}{0{,}75+0{,}3088}=\frac{0{,}70}{1{,}0588}\approx0{,}6613,
x_T=1-x_B\approx0{,}3387.
  • Calculando composição do vapor em equilíbrio (antes da condensação): y_B=K_B x_B\approx1{,}235\times0{,}6613\approx0{,}817,
y_T=1-y_B\approx0{,}183.
  • Interpretação prática: se a mistura líquida inicial foi aquecida até que 25\% dos mols tenham evaporado em equilíbrio a P=1\\ \text{atm}, então o líquido residual tem composição \approx66{,}1\% benzeno / 33{,}9\% tolueno (mol/mol) e o vapor gerado (portanto, o vapor que ao condensar fornece o condensado) tem composição \approx81{,}7\% benzeno / 18{,}3\% tolueno.

Passo 7

Observações sobre condensação e o que se pede em (b):
  • O enunciado diz que as fases são separadas mecanicamente e o vapor se condensa: o condensado será essencialmente uma fase líquida com a composição igual à composição do vapor no equilíbrio (se a condensação for total e não ocorrer fracionamento durante a condensação). Portanto, o condensado terá y-composição convertida em líquido: \, \text{condensado} \approx (0{,}817\\ \text{B},\\\ 0{,}183\\ \text{T}).
  • O líquido residual (o que ficou no vaso depois da retirada do vapor) mantém a composição x calculada acima.

Passo 8

Cálculo e traçado dos K-valores em função da temperatura (parte c):
  • Definição e cálculo: \displaystyle K_i(T)=\frac{P_i^{\text{sat}}(T)}{P} com P=760\\ \text{torr}. Usando os dados da tabela e interpolando/extrapolando conforme necessário, estimei K_B e K_T em temperaturas representativas. Abaixo dou uma tabela com valores representativos (valores arredondados; os P^{\text{sat}} foram obtidos por interpolação linear entre os pontos tabelados):
    • Em T=40^\circ\mathrm{C}:
      • peguei P_B^{\text{sat}}(40)\approx186\\ \text{torr}\Rightarrow K_B\approx0{,}245.
      • peguei P_T^{\text{sat}}(40)\approx59{,}3\\ \text{torr}\Rightarrow K_T\approx0{,}0780.
      • \alpha=K_B/K_T\approx3{,}14.
    • Em T=60^\circ\mathrm{C}:
      • da tabela P_B^{\text{sat}}(60{,}6^\circ\mathrm{C})=400\\ \text{torr}\Rightarrow K_B\approx0{,}526.
      • interpolando para tolueno P_T^{\text{sat}}(60)\approx146\\ \text{torr}\Rightarrow K_T\approx0{,}192.
      • \alpha\approx2{,}74.
    • Em T=80^\circ\mathrm{C}:
      • tabela: P_B^{\text{sat}}(80{,}1^\circ\mathrm{C})=760\\ \text{torr}\Rightarrow K_B\approx1{,}000.
      • interpolando para tolueno P_T^{\text{sat}}(80)\approx305\\ \text{torr}\Rightarrow K_T\approx0{,}401.
      • \alpha\approx2{,}49.
    • Em T=100^\circ\mathrm{C} (extrapolando):
      • estimei P_B^{\text{sat}}(100)\approx1127\\ \text{torr}\Rightarrow K_B\approx1{,}483.
      • estimei P_T^{\text{sat}}(100)\approx579\\ \text{torr}\Rightarrow K_T\approx0{,}762.
      • \alpha\approx1{,}95.
  • Conclusões que tiramos desses cálculos (resumindo o comportamento dos K-valores):
    1. Ambos K_B e K_T aumentam com a temperatura (pois P_i^{\text{sat}}(T) cresce com T). Assim a tendência é: quanto maior T, mais volátil cada componente se torna em relação à pressão total fixa P.
    2. O benzeno tem sempre K_B>K_T no intervalo considerado, o que confirma que benzeno é mais volátil que tolueno (como esperado).
    3. A volatilidade relativa \alpha(T)=K_B(T)/K_T(T) diminui com o aumento da temperatura (ex.: \alpha\approx3{,}14 em 40^\circ\mathrm{C} caindo para \approx1{,}95 em 100^\circ\mathrm{C}). Isso indica que a separação por destilação é mais fácil (maior diferença de volatilidade) a temperaturas mais baixas; a separação fica mais difícil à medida que a temperatura sobe porque os K-valores se aproximam (α tende a 1).
    4. Em particular, usar \alpha constant = 2{,}5 é apenas uma aproximação válida numa faixa próxima a 80^\circ\mathrm{C} (onde achamos \alpha\approx2{,}5), mas não é exata para toda a faixa de temperatura — portanto, para cálculos quantitativos é preferível usar P_i^{\text{sat}}(T) reais e calcular K_i explicitamente.

Passo 9

Resumindo o método que você pode usar na prova (passo a passo prático que repete o cálculo):
  1. Escreva as equações: x_i = z_i/[(1-V)+V K_i(T)] e K_i(T)=P_i^{\text{sat}}(T)/P.
  2. A partir dos dados da tabela, construa (ou interpole) P_i^{\text{sat}}(T) em cada T de interesse.
  3. Para o V dado (aqui 0{,}25), calcule x_B(T) e x_T(T) e imponha x_B+x_T=1. Isso dá uma equação só em T.
  4. Solve por tentativa/iteração (bissecção ou interpolação linear entre duas temperaturas onde a soma muda de sinal) até a precisão desejada.
  5. Com T encontrado, calcule x_i e y_i=K_i x_i. Isso responde às partes (a) e (b).
  6. Para (c) calcule K_i(T) em uma grade de temperaturas (usar as tabelas para P_i^{\text{sat}}(T)) e plote K vs T (ou apenas faça uma tabela se não der para plotar). Observe a tendência de \alpha(T).

Resposta

Temperatura necessária: T \approx 89{,}8^\circ\mathrm{C}.
Composições no equilíbrio (para V=0{,}25 e T\approx89{,}8^\circ\mathrm{C}):
  • Composição do líquido residual: x_{\text{benzeno}}\approx0{,}661,\\ x_{\text{tolueno}}\approx0{,}339.
  • Composição do vapor (que ao condensar dá o condensado): y_{\text{benzeno}}\approx0{,}817,\\ y_{\text{tolueno}}\approx0{,}183.
K-valores (exemplos representativos) e conclusão:
  • T=40^\circ\mathrm{C}:\\ K_B\approx0{,}245,\\ K_T\approx0{,}0780,\\ \alpha\approx3{,}14.
  • T=60^\circ\mathrm{C}:\\ K_B\approx0{,}526,\\ K_T\approx0{,}192,\\ \alpha\approx2{,}74.
  • T=80^\circ\mathrm{C}:\\ K_B\approx1{,}000,\\ K_T\approx0{,}401,\\ \alpha\approx2{,}49.
  • T=100^\circ\mathrm{C}:\\ K_B\approx1{,}483,\\ K_T\approx0{,}762,\\ \alpha\approx1{,}95.
Conclusões: K_i aumentam com T; o benzeno é sempre mais volátil ( K_B>K_T); a volatilidade relativa \alpha(T) diminui com T, tornando a separação por destilação mais fácil em temperaturas mais baixas.

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