Determine V_{L} (tensão eficaz na carga) e \theta (ângulo da tensão da fonte) se a carga do circuito abaixo absorver 250 VA , com fator de potência atrasado de 0,6.

Passo 1

O enunciado dá um circuito série com fonte de tensão \,240\angle 0^\circ V, resistência de 1\\ \Omega, reatância indutiva de 8\\ \Omega e uma carga que absorve 250 VA com fator de potência atrasado 0,6. Precisamos achar a tensão eficaz na carga, V_{L}=\lvert V_{L}\rvert\angle \theta, ou seja sua magnitude \lvert V_{L}\rvert e seu ângulo \theta em relação à fonte.

Passo 2

Primeiro calculamos as potências ativa e reativa da carga. Como o módulo da potência aparente é S=250 VA e o fator de potência é \cos\varphi=0,6 (atrasado, logo \varphi>0), temos
P = S\cos\varphi = 250\cdot 0,6 = 150\quad(\text{W}),
Q = P\tan\varphi = 150\tan\bigl(\operatorname{arccos} 0,6\bigr) =150\cdot\frac{\sqrt{1-0,6^2}}{0,6} =150\cdot\frac{0,8}{0,6}=200\quad(\text{var}).
Logo a carga consome
S = P + jQ = 150 + j\,200\quad(\text{VA}).

Passo 3

Da relação de potência aparente em carga vale
S \;=\; V_{L}\,I^{*},
onde V_{L}=\lvert V_{L}\rvert\angle\theta e I=\lvert I\rvert\angle\alpha. Em módulo e argumento isso dá
\lvert V_{L}\rvert\;\lvert I\rvert = \lvert S\rvert = 250, \qquad \theta - \alpha = \arg S = \arctan\!\bigl(\tfrac{200}{150}\bigr)\approx 53{,}13^\circ.
Logo
\lvert I\rvert = \frac{250}{\lvert V_{L}\rvert}, \qquad \alpha = \theta - 53{,}13^\circ.

Passo 4

Pela malha em série a tensão da fonte é
V_{s} = I\,(1 + j8) \;+\; V_{L}.
Escrevendo em forma cartesiana, com \lvert Z_{s}\rvert=\sqrt{1^2+8^2}=8{,}062 e \arg Z_{s}=\arctan(8/1)=82{,}875^\circ, temos
V_{s}=240\angle 0^\circ = \underbrace{\Bigl(\tfrac{250}{\lvert V_{L}\rvert}\Bigr)\,8{,}062}_{\displaystyle \frac{2015{,}5}{\lvert V_{L}\rvert}} \angle(\theta-53{,}13^\circ +82{,}875^\circ) \;+\;\lvert V_{L}\rvert\angle\theta.
Para a soma dar 240+ j0, separamos parte real e imaginária. Definindo \delta=82{,}875^\circ-53{,}13^\circ=29{,}745^\circ e A=2015{,}5, obtemos o sistema
\begin{cases} \dfrac{A}{\lvert V_{L}\rvert}\cos(\theta+\delta)\;+\;\lvert V_{L}\rvert\cos\theta = 240,\\[6pt] \dfrac{A}{\lvert V_{L}\rvert}\sin(\theta+\delta)\;+\;\lvert V_{L}\rvert\sin\theta = 0. \end{cases}]

Passo 5

Multiplicando cada equação por \lvert V_{L}\rvert e usando as identidades de soma de ângulo, chega-se a uma forma canônica
\bigl(M\cos\theta - N\sin\theta\bigr)=240\,\lvert V_{L}\rvert, \quad \bigl(N\cos\theta + M\sin\theta\bigr)=0,
em que
M = A\cos\delta + \lvert V_{L}\rvert^2, \quad N = A\sin\delta.
Somando o quadrado das duas equações elimina \theta e gera a equação em x=\lvert V_{L}\rvert^2:
\bigl(A\cos\delta + x\bigr)^{2} + \bigl(A\sin\delta\bigr)^{2} = (240)^2\,x.
Substituindo A=2015{,}5, \cos\delta\approx0,868, \sin\delta\approx0,496 e expandindo, obtém-se o polinômio
x^2 -54101\,x +4{,}060{,}150=0,
cujas raízes são aproximadamente
x_1\approx54021{,}5, \quad x_2\approx79{,}5.

Passo 6

Tomando somente a solução de maior módulo (para que a tensão na carga fique próxima da tensão da fonte, em vez de um valor muito baixo), temos
\lvert V_{L}\rvert = \sqrt{x_{1}}\approx \sqrt{54021{,}5}\approx 232{,}4\\ \text{V}.

Passo 7

Para encontrar \theta usamos a segunda equação reduzida
N\cos\theta + M\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \tan\theta = -\frac{N}{M} =-\frac{A\sin\delta}{\,A\cos\delta + \lvert V_{L}\rvert^2\,} \approx -0{,}0179
\theta \approx -1{,}03^\circ.

Resposta

V_{L}\approx 232{,}4\\ \text{V} e \theta\approx -1{,}03^\circ.

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