Use o método das tensões de nó para determinar a expressão de \mathrm{v}_{\mathrm{o}}(\mathrm{t}) no circuito abaixo, se: \mathrm{v}_{\mathrm{g} 1}= 10^{*} \cos \left(5000 \mathrm{t}+53,13^{\circ}\right) \mathrm{V} e \mathrm{v}_{\mathrm{g} 2}=8^{*} \operatorname{sen}(5000 \mathrm{t}) \mathrm{V}.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um circuito em regime senoidal permanente com duas fontes independentes e queremos determinar a tensão de saída \mathrm{v}_{\mathrm{o}}(t) medida no nó superior (no topo do resistor de 6\,\Omega) em relação ao terra. O conteúdo envolvido é análise em fasores usando o método das tensões de nó, impedâncias de indutor e capacitor e conversão de fasores para o domínio do tempo.

Passo 2

Converter as fontes para fasores (referência em cosseno) e calcular as impedâncias:
A fonte
\mathrm{v}_{g1}(t)=10\cos\bigl(5000t+53,13^\circ\bigr)\quad\longrightarrow\quad\underline V_{g1}=10\angle 53,13^\circ.
A fonte
\mathrm{v}_{g2}(t)=8\sin(5000t)=8\cos\bigl(5000t-90^\circ\bigr)\quad\longrightarrow\quad\underline V_{g2}=8\angle(-90^\circ).
Impedâncias na frequência \omega=5000\\ \mathrm{rad/s}:
Z_L = j\,\omega L = j\,(5000)(400\times10^{-6}) = j2\\ \Omega,
Z_C = \frac{1}{j\,\omega C} = \frac{1}{j\,(5000)(50\times10^{-6})} = -j4\\ \Omega.

Passo 3

Calcular as admitâncias no nó de interesse (o nó de \underline V_0) e escrever a lei de correntes de Kirchhoff:
Y_L = \frac1{Z_L} = \frac1{j2} = -j0,5,\qquad Y_C = \frac1{Z_C} = \frac1{-j4} = j0,25,\qquad Y_R = \frac1{6}=0,1667.
Pela KCL no nó superior:
Y_L\bigl(\underline V_0 - \underline V_{g1}\bigr)\;+\;Y_R\,\underline V_0\;+\;Y_C\bigl(\underline V_0 - \underline V_{g2}\bigr)=0.

Passo 4

Isolando \underline V_0:
\underline V_0\,(Y_L + Y_R + Y_C) =Y_L\,\underline V_{g1}+Y_C\,\underline V_{g2}.
Substituindo valores:
Y_L+Y_R+Y_C = -j0,5 + 0,1667 + j0,25 = 0,1667 - j0,25,
Y_L\,\underline V_{g1} = (-j0,5)\,(10\angle53,13^\circ)=5\angle(-36,87^\circ),
Y_C\,\underline V_{g2} = (j0,25)\,(8\angle-90^\circ)=2\angle0^\circ.
Logo o lado direito vale
5\angle(-36,87^\circ)\;+\;2\angle0^\circ = (4 - j3) + 2 = 6 - j3.
Assim
\underline V_0 = \frac{6 - j3}{0,1667 - j0,25} \approx 19,38 + j\,11,08 \approx 22,14\angle29,05^\circ\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Converter o fasor \underline V_0 para o domínio do tempo:
\mathrm{v}_0(t) = 22,14\cos\bigl(5000\,t + 29,05^\circ\bigr)\\ \mathrm{V}.

Resposta

\displaystyle \mathrm{v}_o(t)=22{,}14\cos\bigl(5000\,t+29{,}05^\circ\bigr)\\ \text{V}.

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