Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima através do círculo de Mohr para os seguintes estados de tensão. Unidade MPa:
\sigma x \sigma y Txy C \tau_{\text {max }} \sigma_{1} \sigma_{2}
d) 70 -25 30
\sigma x = 70, \sigma y = -25, Txy = 30

Passo 1

O enunciado nos dá um estado plano de tensão com \sigma_x = 70\\ \text{MPa}, \sigma_y = -25\\ \text{MPa} e \tau_{xy} = 30\\ \text{MPa}.
Queremos encontrar as tensões principais \sigma_1 e \sigma_2, a tensão de cisalhamento máxima \tau_{\max} e o centro C do círculo de Mohr. Para isso, usamos as fórmulas padrão do círculo de Mohr: o centro é a média das normais e o raio envolve a diferença de normais e o cisalhamento.

Passo 2

Calcular o centro C, que é a média aritmética de \sigma_x e \sigma_y:
C = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{70 + (-25)}{2} = 22{,}5\\ \text{MPa}.

Passo 3

Calcular o raio R do círculo de Mohr, usando metade da diferença entre \sigma_x e \sigma_y e \tau_{xy}:
R = \sqrt{\Bigl(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\Bigr)^2 + \tau_{xy}^2} = \sqrt{\bigl(\tfrac{70 - (-25)}{2}\bigr)^2 + 30^2} = \sqrt{47{,}5^2 + 30^2} \approx 56{,}19\\ \text{MPa}.

Passo 4

Determinar as tensões principais a partir de C e R:
\sigma_1 = C + R \approx 22{,}5 + 56{,}19 = 78{,}69\\ \text{MPa},
\sigma_2 = C - R \approx 22{,}5 - 56{,}19 = -33{,}69\\ \text{MPa}.

Passo 5

A tensão de cisalhamento máxima num plano qualquer é igual ao raio do círculo de Mohr, ou seja,
\tau_{\max} = R \approx 56{,}19\\ \text{MPa}.

Resposta

C = 22{,}5\\ \text{MPa} \tau_{\max} = 56{,}19\\ \text{MPa} \sigma_1 = 78{,}69\\ \text{MPa} \sigma_2 = -33{,}69\\ \text{MPa}

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