1. Determine:
a) o termo geral
da sequência
b)
b)
Passo 1
O enunciado dá a sequência cujos primeiros termos são
.
As perguntas são:
(a) determinar o termo geral da sequência;
(b) calcular .
As perguntas são:
(a) determinar o termo geral
(b) calcular
Informações explícitas que temos (retiradas do enunciado):
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Terceiro termo:
. - Quarto termo:
. - A sequência alterna sinais e os valores absolutos parecem diminuir por um fator constante.
Passo 2
Identificar o padrão: calcular a razão entre termos consecutivos para ver se é constante.
Calcular
Calcular
Como a razão entre qualquer termo e o anterior é sempre
, tratamos de uma progressão geométrica (PG) com razão constante
.
Explicação didática rápida (o que é uma PG e fórmula usada):
- Uma sequência é uma progressão geométrica quando existe uma constante
tal que
- Para uma PG com primeiro termo
e razão , o termo geral é dado por
onde
indica o termo de ordem
,
é o primeiro termo e
é a razão.
Passo 3
Aplicar a fórmula da PG com os dados que temos:
Portanto
Podemos reescrever de forma equivalente, separando sinal e potência:
Verificação rápida com alguns
:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Esses valores coincidem com os termos dados, logo a fórmula está correta.
Passo 4
Calcular o limite
.
Usar a expressão encontrada:
Raciocínio sobre limites de potências: se
é um número real com
, então
porque potências sucessivas de um número com módulo menor que
tendem a zero (cada multiplicação reduz a magnitude).
No nosso caso
tem
. Logo
Uma forma alternativa, muito clara, é observar a magnitude:
e como
, pelo teorema do confronto (squeeze) temos
. Note que os sinais alternam, mas a magnitude vai a zero, por isso a sequência converge para
.