1. Determine:

a) o termo geral a_{n} da sequência \left\{1,-\frac{1}{3}, \frac{1}{9},-\frac{1}{27}, \frac{1}{81}, \cdots\right\}
b) \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujos primeiros termos são
1,\; -\dfrac{1}{3},\; \dfrac{1}{9},\; -\dfrac{1}{27},\; \dfrac{1}{81},\ldots.
As perguntas são:
(a) determinar o termo geral a_{n} da sequência;
(b) calcular \lim_{n\rightarrow\infty} a_{n}.
Informações explícitas que temos (retiradas do enunciado):
  • Primeiro termo: a_{1}=1.
  • Segundo termo: a_{2}=-\dfrac{1}{3}.
  • Terceiro termo: a_{3}=\dfrac{1}{9}.
  • Quarto termo: a_{4}=-\dfrac{1}{27}.
  • A sequência alterna sinais e os valores absolutos parecem diminuir por um fator constante.

Passo 2

Identificar o padrão: calcular a razão entre termos consecutivos para ver se é constante.
Calcular
\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-\dfrac{1}{3}}{1}=-\dfrac{1}{3}, \qquad \frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{\dfrac{1}{9}}{-\dfrac{1}{3}}=-\dfrac{1}{3}, \qquad \frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{-\dfrac{1}{27}}{\dfrac{1}{9}}=-\dfrac{1}{3}.
Como a razão entre qualquer termo e o anterior é sempre -\dfrac{1}{3}, tratamos de uma progressão geométrica (PG) com razão constante r=-\dfrac{1}{3}.
Explicação didática rápida (o que é uma PG e fórmula usada):
  • Uma sequência é uma progressão geométrica quando existe uma constante r tal que
a_{n+1}=r\cdot a_{n}\quad\text{para todo }n\ge1.
  • Para uma PG com primeiro termo a_{1} e razão r, o termo geral é dado por
a_{n}=a_{1}\,r^{\,n-1},
onde a_{n} indica o termo de ordem n, a_{1} é o primeiro termo e r é a razão.

Passo 3

Aplicar a fórmula da PG com os dados que temos:
  • a_{1}=1
  • r=-\dfrac{1}{3}
Portanto
a_{n}=1\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{\,n-1}.
Podemos reescrever de forma equivalente, separando sinal e potência:
a_{n}=(-1)^{\,n-1}\cdot\frac{1}{3^{\,n-1}}=\frac{(-1)^{\,n-1}}{3^{\,n-1}}.
Verificação rápida com alguns n:
  • Para n=1: a_{1}=(-1)^{0}/3^{0}=1.
  • Para n=2: a_{2}=(-1)^{1}/3^{1}=-\dfrac{1}{3}.
  • Para n=3: a_{3}=(-1)^{2}/3^{2}=\dfrac{1}{9}.
    Esses valores coincidem com os termos dados, logo a fórmula está correta.

Passo 4

Calcular o limite \lim_{n\to\infty} a_{n}.
Usar a expressão encontrada:
a_{n}=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{\,n-1}.
Raciocínio sobre limites de potências: se r é um número real com |r|<1, então
\lim_{n\to\infty} r^{n-1}=0,
porque potências sucessivas de um número com módulo menor que 1 tendem a zero (cada multiplicação reduz a magnitude).
No nosso caso r=-\dfrac{1}{3} tem |r|=\dfrac{1}{3}<1. Logo
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{\,n-1}=0.
Uma forma alternativa, muito clara, é observar a magnitude:
|a_{n}|=\frac{1}{3^{\,n-1}},
e como \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{3^{\,n-1}}=0, pelo teorema do confronto (squeeze) temos \lim_{n\to\infty}a_{n}=0. Note que os sinais alternam, mas a magnitude vai a zero, por isso a sequência converge para 0.

Resposta

a_{n}=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{\,n-1}
\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0

Exercícios relacionados