Encontre as transformadas de Laplace das seguintes funções. Mostre os detalhes do que fizer. ( a, b, k, \omega, \theta são constantes.)
\cos 2 \pi t

Passo 1

O enunciado dá a função \cos 2\pi t e pede a transformada de Laplace dessa função. Informação relevante fornecida:
  • A função a transformar é f(t)=\cos 2\pi t.
  • Quer-se \mathcal{L}\{f(t)\}(s), ou seja, a transformada de Laplace da função para a variável complexa s.
    Não há outras condições explícitas no enunciado (por exemplo, condição inicial distinta de t\ge0); a definição padrão da transformada de Laplace será usada.

Passo 2

Vamos lembrar a definição da transformada de Laplace e o que significa cada símbolo, bem didático:
  • Definição: \displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
  • Aqui t é a variável de tempo (real, t\ge 0), s é a variável complexa da transformada (escreve-se s=\sigma+i\omega_s, com \sigma e \omega_s reais).
  • A integral só converge (existe) para valores de \,s\, que tornam \int_{0}^{\infty} |e^{-st}f(t)|\,dt finita; para funções oscilatórias como \cos normalmente requeremos \operatorname{Re}(s)>0 para a convergência exponencial.
Vamos aplicar a definição com f(t)=\cos 2\pi t.

Passo 3

Escrever a integral da transformada para o nosso caso:
\mathcal{L}\{\cos 2\pi t\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(2\pi t)\,dt.
Uma forma elegante e curta de calcular integrais com \cos ou \sin é usar a exponencial complexa: \cos(2\pi t)=\operatorname{Re}\big(e^{i2\pi t}\big). Assim podemos considerar a integral complexa
\int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{i2\pi t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i2\pi)t}\,dt,
e depois tomar a parte real do resultado. Isso é legal porque a transformada é linear e a parte real comuta com a integral quando a integral converge.

Passo 4

Calcular a integral exponencial simples. Para \operatorname{Re}(s)>0 (isso garante que \operatorname{Re}(s-i2\pi)=\operatorname{Re}(s)>0 e que a exponencial decai em +\infty):
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i2\pi)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(s-i2\pi)t}}{-(s-i2\pi)}\right]_{0}^{\infty}.
Avaliar os limites:
  • Quando t\to\infty, e^{-(s-i2\pi)t}\to 0 porque \operatorname{Re}(s)>0.
  • Quando t=0, e^{-(s-i2\pi)0}=1.
    Portanto
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i2\pi)t}\,dt=\frac{0-1}{-(s-i2\pi)}=\frac{1}{s-i2\pi}.

Passo 5

Voltando à transformada real: como \cos(2\pi t)=\operatorname{Re}(e^{i2\pi t}), temos
\mathcal{L}\{\cos 2\pi t\}(s)=\operatorname{Re}\!\left(\frac{1}{s-i2\pi}\right).
Agora calculamos a parte real de \dfrac{1}{s-i2\pi}. Escrevendo s (ainda de forma geral) e racionalizando:
\frac{1}{s-i2\pi}=\frac{s+i2\pi}{(s-i2\pi)(s+i2\pi)}=\frac{s+i2\pi}{s^{2}+(2\pi)^{2}}.
A parte real dessa fração é o numerador real dividido pelo denominador real:
\operatorname{Re}\!\left(\frac{1}{s-i2\pi}\right)=\frac{s}{s^{2}+(2\pi)^{2}}.

Passo 6

Condição de existência: durante o cálculo usamos o fato de que e^{-(s-i2\pi)t} tende a zero quando t\to\infty, o que exige \operatorname{Re}(s)>0. Portanto a transformada encontrada é válida para \operatorname{Re}(s)>0.

Passo 7

Resumo final e comentário prático: a transformada de \cos(\omega t) é uma fórmula padrão \dfrac{s}{s^{2}+\omega^{2}}. Aqui \omega=2\pi, logo obtemos o resultado abaixo.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\cos 2\pi t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+(2\pi)^{2}},\quad \operatorname{Re}(s)>0

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