Encontre as transformadas de Laplace das seguintes funções. Mostre os detalhes do que fizer. (
são constantes.)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a transformada de Laplace dessa função. Informação relevante fornecida:
- A função a transformar é
. - Quer-se
, ou seja, a transformada de Laplace da função para a variável complexa .
Não há outras condições explícitas no enunciado (por exemplo, condição inicial distinta de); a definição padrão da transformada de Laplace será usada.
Passo 2
Vamos lembrar a definição da transformada de Laplace e o que significa cada símbolo, bem didático:
- Definição:
. - Aqui
é a variável de tempo (real, ), é a variável complexa da transformada (escreve-se , com e reais). - A integral só converge (existe) para valores de
que tornam finita; para funções oscilatórias como normalmente requeremos para a convergência exponencial.
Vamos aplicar a definição com
.
Passo 3
Escrever a integral da transformada para o nosso caso:
Uma forma elegante e curta de calcular integrais com
ou
é usar a exponencial complexa:
. Assim podemos considerar a integral complexa
e depois tomar a parte real do resultado. Isso é legal porque a transformada é linear e a parte real comuta com a integral quando a integral converge.
Passo 4
Calcular a integral exponencial simples. Para
(isso garante que
e que a exponencial decai em
):
Avaliar os limites:
- Quando
, porque . - Quando
, .
Portanto
Passo 5
Voltando à transformada real: como
, temos
Agora calculamos a parte real de
. Escrevendo
(ainda de forma geral) e racionalizando:
A parte real dessa fração é o numerador real dividido pelo denominador real:
Passo 6
Condição de existência: durante o cálculo usamos o fato de que
tende a zero quando
, o que exige
. Portanto a transformada encontrada é válida para
.
Passo 7
Resumo final e comentário prático: a transformada de
é uma fórmula padrão
. Aqui
, logo obtemos o resultado abaixo.