Determine the gage pressure inside a soap bubble of diameter (b) 5 cm at 20^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a pressão manométrica (ou seja, a diferença entre a pressão dentro da bolha e a pressão externa) dentro de uma bolha de sabão de diâmetro b=5\\ \text{cm} à temperatura 20^\circ\text{C}.
Informações dadas:
  • Diâmetro da bolha: b=5\\ \text{cm}.
  • Temperatura: 20^\circ\text{C}.
  • O enunciado não fornece explicitamente a tensão superficial da solução (tensão superficial é necessária para calcular a pressão). Vou assumir um valor típico. Vou usar o valor da tensão superficial da água pura a 20^\circ\text{C}, que é próximo de \gamma=0,0728\\ \mathrm{N/m}. (Observação: filmes de sabão costumam ter \gamma menores, por exemplo \approx 0,030\\ \mathrm{N/m}; se você usar esse valor, a resposta numérica muda — eu comento isso adiante.)

Passo 2

Conceito físico essencial (explicadinho): tensão superficial \gamma é a força por unidade de comprimento que atua na superfície de um líquido; unidades são \mathrm{N/m}. Outra interpretação útil é energia por unidade de área, mas para este problema a ideia de força/curvatura é suficiente.
Quando uma superfície curva separa dois fluidos (aqui: ar dentro e ar fora), há uma diferença de pressão entre os dois lados proporcional à curvatura da superfície. Para uma superfície esférica simples (uma única interface) a relação de Laplace é
\Delta p = \frac{2\gamma}{r},
onde \Delta p é a pressão dentro menos fora e r é o raio da esfera. Vou explicar as quantidades:
  • \Delta p é a diferença de pressão (o que o enunciado chama de pressão manométrica).
  • \gamma é a tensão superficial.
  • r é o raio da bolha.

Passo 3

Por que uma bolha de sabão tem fator 4 em vez de 2? Explicação detalhada e intuitiva: uma bolha de sabão não é uma única superfície, ela é formada por um filme fino com duas superfícies (a face interna do filme e a face externa do filme). Cada superfície contribui com uma diferença de pressão igual a 2\gamma/r se fosse isolada; como há duas superfícies, as contribuições somam. Portanto, para uma bolha de sabão esférica perfeita:
\Delta p = \frac{4\gamma}{r}.
Isso é a fórmula que vamos usar. Lembre-se: \Delta p é a pressão dentro menos a pressão externa (pressão manométrica).

Passo 4

Convertemos o dado geométrico para o raio em unidades do SI (metros), para poder usar \gamma em \mathrm{N/m}.
Diâmetro dado: b=5\\ \text{cm}. Então o raio é
r=\frac{b}{2}=\frac{5\\ \text{cm}}{2}=2,5\\ \text{cm}.
Convertendo para metros:
r=2,5\\ \text{cm}=0,025\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Agora substituímos na fórmula \Delta p=\dfrac{4\gamma}{r}. Usando o valor assumido para a tensão superficial a 20^\circ\text{C}:
\gamma=0,0728\\ \mathrm{N/m},\qquad r=0,025\\ \mathrm{m}.
Calculemos passo a passo:
4\gamma = 4\times 0,0728 = 0,2912\\ \mathrm{N/m},
e agora
\Delta p = \frac{0,2912}{0,025}=11,648\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Interpretação, arredondamento e observação prática:
  • A pressão manométrica dentro da bolha, com a suposição \gamma=0,0728\\ \mathrm{N/m}, é \Delta p\approx 11,65\\ \mathrm{Pa}.
  • Comparação prática: se em vez de usar \gamma=0,0728\\ \mathrm{N/m} você usar um valor típico de filme de sabão, por exemplo \gamma\approx 0,030\\ \mathrm{N/m}, a conta daria
\Delta p=\frac{4\times 0,030}{0,025}=4,8\\ \mathrm{Pa},
ou seja, valores menores de \gamma produzem pressões internas menores. Assim, confirme se o exercício esperava usar o valor da água pura ou o valor típico de filme de sabão; se não disseram, é comum usar a tensão superficial da água a 20^\circ\text{C}.

Resposta

11,65\\ \mathrm{Pa}

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