2-65 Contrary to what you might expect, a solid steel ball can float on water due to the surface tension effect. Determine the maximum diameter of a steel ball that would float on water at
. What would your answer be for an aluminum ball? Take the densities of steel and aluminum balls to be
and
, respectively.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar o diâmetro máximo de uma esfera (bola) que consegue flutuar sobre a água por efeito da tensão superficial, primeiro para uma bola de aço e depois para uma bola de alumínio.
Informações dadas e necessárias:
Informações dadas e necessárias:
- Densidade da bola de aço:
. - Densidade da bola de alumínio:
. - Temperatura da água:
(usaremos o valor da tensão superficial da água a essa temperatura). - A tensão superficial da água a
é . - Aceleração da gravidade:
.
Pergunta final: quais os diâmetros máximos(um para aço e outro para alumínio) que podem ser sustentados apenas pela tensão superficial?
Passo 2
Entendendo a física (aula rápida e didática): o que é tensão superficial e como ela pode sustentar um objeto.
- A tensão superficial
tem unidades e representa a força tangencial por unidade de comprimento que a superfície do líquido exerce. Pense na superfície como uma “membrana” com força por comprimento. - Se uma esfera repousa sobre a superfície, a linha de contato entre líquido e esfera é um círculo. Ao longo dessa linha a tensão superficial age tangencialmente. A componente vertical dessa tensão ao longo de toda a circunferência pode fornecer uma força total para cima que, em casos favoráveis, pode equilibrar o peso da esfera.
- A componente vertical por unidade de comprimento não pode exceder
(porque é a força tangencial máxima; a componente vertical é multiplicada por um seno/cosseno que tem valor máximo ). Portanto, um limite superior para a força vertical total fornecida pela tensão superficial é simplesmente multiplicado pelo comprimento total da linha de contato. Este argumento dá um limite máximo e simples para o tamanho da esfera que a tensão superficial pode suportar.
Passo 3
Expressando a força máxima vertical da tensão superficial:
- Se a esfera tem raio
, o perímetro da linha de contato (círculo) é no caso limite em que essa linha coincida com o “equador” da esfera; para obter um limite superior absoluto tomamos o comprimento de contato máximo . - Então a força máxima vertical que a tensão superficial pode exercer é aproximadamente
(Explicação curta: isto é um limite superior — a componente vertical real pode ser menor, mas não pode ser maior que isso.)
Passo 4
Escrevendo o equilíbrio de forças (condição para flutuar): peso da esfera = força vertical máxima fornecida pela tensão superficial (ignorando contribuição de empuxo, que é pequena para esferas tão pequenas).
- Massa da esfera:
. - Peso:
.
Igualando ao suporte máximo:
Agora simplificamos a equação (dividindo por
):
Passo 5
Resolvendo para o diâmetro
. Primeiro isolamos
:
Portanto o diâmetro é
Isto é uma fórmula direta que nos permite calcular
a partir de
,
e
.
Passo 6
Aplicando a fórmula ao caso da bola de aço. Usamos
,
,
.
- Primeiro calcule
:
- Calcule
:
- Agora a razão:
- Tomando raiz quadrada:
Passo 7
Aplicando a fórmula ao caso da bola de alumínio com
.
-
- Razão:
- Raiz quadrada:
Passo 8
Comentário final (motivacional e de validade): esses valores são limites superiores obtidos supondo que a componente vertical da tensão superficial ao longo de toda a circunferência seja, no máximo,
. Na prática a geometria da deformação da superfície e o ângulo de contato podem reduzir um pouco a força vertical disponível, e o empuxo (flutuação) também pode contribuir quando a esfera afunda parcialmente. Ainda assim, esses cálculos dão a escala correta: bolas de aço maiores que poucos milímetros não conseguem ficar sobre a água apenas por tensão superficial; para alumínio o limite é um pouco maior, alguns milímetros.