2-65 Contrary to what you might expect, a solid steel ball can float on water due to the surface tension effect. Determine the maximum diameter of a steel ball that would float on water at 20^{\circ} \mathrm{C}. What would your answer be for an aluminum ball? Take the densities of steel and aluminum balls to be 7800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} and 2700 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, respectively.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar o diâmetro máximo de uma esfera (bola) que consegue flutuar sobre a água por efeito da tensão superficial, primeiro para uma bola de aço e depois para uma bola de alumínio.
Informações dadas e necessárias:
  • Densidade da bola de aço: \rho_{\text{aço}}=7800\\ \mathrm{kg/m^{3}}ç.
  • Densidade da bola de alumínio: \rho_{\text{Al}}=2700\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Temperatura da água: 20^\circ\mathrm{C} (usaremos o valor da tensão superficial da água a essa temperatura).
  • A tensão superficial da água a 20^\circ\mathrm{C} é \gamma\approx 0,0728\\ \mathrm{N/m}.
  • Aceleração da gravidade: g=9,80\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    Pergunta final: quais os diâmetros máximos d (um para aço e outro para alumínio) que podem ser sustentados apenas pela tensão superficial?

Passo 2

Entendendo a física (aula rápida e didática): o que é tensão superficial e como ela pode sustentar um objeto.
  • A tensão superficial \gamma tem unidades \mathrm{N/m} e representa a força tangencial por unidade de comprimento que a superfície do líquido exerce. Pense na superfície como uma “membrana” com força por comprimento.
  • Se uma esfera repousa sobre a superfície, a linha de contato entre líquido e esfera é um círculo. Ao longo dessa linha a tensão superficial age tangencialmente. A componente vertical dessa tensão ao longo de toda a circunferência pode fornecer uma força total para cima que, em casos favoráveis, pode equilibrar o peso da esfera.
  • A componente vertical por unidade de comprimento não pode exceder \gamma (porque \gamma é a força tangencial máxima; a componente vertical é \gamma multiplicada por um seno/cosseno que tem valor máximo 1). Portanto, um limite superior para a força vertical total fornecida pela tensão superficial é simplesmente \gamma multiplicado pelo comprimento total da linha de contato. Este argumento dá um limite máximo e simples para o tamanho da esfera que a tensão superficial pode suportar.

Passo 3

Expressando a força máxima vertical da tensão superficial:
  • Se a esfera tem raio a, o perímetro da linha de contato (círculo) é 2\pi a no caso limite em que essa linha coincida com o “equador” da esfera; para obter um limite superior absoluto tomamos o comprimento de contato máximo L_{\max}=2\pi a.
  • Então a força máxima vertical que a tensão superficial pode exercer é aproximadamente
F_{\gamma,\max}= \gamma \cdot L_{\max} = \gamma \cdot 2\pi a.
(Explicação curta: isto é um limite superior — a componente vertical real pode ser menor, mas não pode ser maior que isso.)

Passo 4

Escrevendo o equilíbrio de forças (condição para flutuar): peso da esfera = força vertical máxima fornecida pela tensão superficial (ignorando contribuição de empuxo, que é pequena para esferas tão pequenas).
  • Massa da esfera: m=\dfrac{4}{3}\pi a^{3}\rho.
  • Peso: mg=\dfrac{4}{3}\pi a^{3}\rho g.
    Igualando ao suporte máximo:
\dfrac{4}{3}\pi a^{3}\rho g = 2\pi a \gamma.
Agora simplificamos a equação (dividindo por \pi a):
\dfrac{4}{3} a^{2}\rho g = 2\gamma.

Passo 5

Resolvendo para o diâmetro d=2a. Primeiro isolamos a^{2}:
a^{2}=\frac{3}{2}\cdot\frac{\gamma}{\rho g}.
Portanto o diâmetro é
d=2a=2\sqrt{\frac{3}{2}\cdot\frac{\gamma}{\rho g}}=\sqrt{\frac{6\gamma}{\rho g}}.
Isto é uma fórmula direta que nos permite calcular d a partir de \gamma, \rho e g.

Passo 6

Aplicando a fórmula ao caso da bola de aço. Usamos \gamma=0,0728\\ \mathrm{N/m}, \rho_{\text{aço}}=7800\\ \mathrm{kg/m^{3}}ç, g=9,80\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Primeiro calcule 6\gamma:
6\gamma = 6\cdot 0,0728 = 0,4368\\ \mathrm{N/m}.
  • Calcule \rho g:
\rho_{\text{aço}} g = 7800\cdot 9,80 = 76\,440\\ \mathrm{N/m^{3}}.ç
  • Agora a razão:
\frac{6\gamma}{\rho g} = \frac{0,4368}{76\,440}\approx 5,715\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Tomando raiz quadrada:
d_{\text{aço}}=\sqrt{5,715\times 10^{-6}}\approx 2,391\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}=2,39\\ \mathrm{mm}.ç

Passo 7

Aplicando a fórmula ao caso da bola de alumínio com \rho_{\text{Al}}=2700\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • \rho_{\text{Al}} g = 2700\cdot 9,80 = 26\,460\\ \mathrm{N/m^{3}}.
  • Razão:
\frac{6\gamma}{\rho_{\text{Al}} g} = \frac{0,4368}{26\,460}\approx 1,651\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Raiz quadrada:
d_{\text{Al}}=\sqrt{1,651\times 10^{-5}}\approx 4,064\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}=4,06\\ \mathrm{mm}.

Passo 8

Comentário final (motivacional e de validade): esses valores são limites superiores obtidos supondo que a componente vertical da tensão superficial ao longo de toda a circunferência seja, no máximo, \gamma. Na prática a geometria da deformação da superfície e o ângulo de contato podem reduzir um pouco a força vertical disponível, e o empuxo (flutuação) também pode contribuir quando a esfera afunda parcialmente. Ainda assim, esses cálculos dão a escala correta: bolas de aço maiores que poucos milímetros não conseguem ficar sobre a água apenas por tensão superficial; para alumínio o limite é um pouco maior, alguns milímetros.

Resposta

d_{\text{aço}}\approx 2,39\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}=2,39\\ \mathrm{mm}ç
d_{\text{Al}}\approx 4,06\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}=4,06\\ \mathrm{mm}

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