Determine the mass moment of inertia of ring of radius
about an axis
(a) passing through center in the plane of the ring, and
(b) passing through centre in a direction perpendicular to the plane of the ring.
(a) passing through center in the plane of the ring, and
(b) passing through centre in a direction perpendicular to the plane of the ring.
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia de um anel fino (raio
) em duas situações:
(a) eixo passando pelo centro e contido no plano do anel;
(b) eixo passando pelo centro e perpendicular ao plano do anel.
Vou chamar a massa total do anel de (o enunciado não especificou, então usamos
). Essas são as únicas informações que precisamos: o raio
e a massa
. A resolução começa agora.
(a) eixo passando pelo centro e contido no plano do anel;
(b) eixo passando pelo centro e perpendicular ao plano do anel.
Vou chamar a massa total do anel de
Passo 2
Definição e ideia básica (mini-aula): o momento de inércia em relação a um eixo é
onde
é a distância de cada elemento de massa
até o eixo. Aqui
depende da posição do elemento no anel;
é um pedaço infinitesimal da massa total
. Para um anel fino homogêneo podemos parametrizar os pontos pela coordenada angular
(ângulo polar), e usar que a massa por unidade de ângulo é constante:
porque o anel tem comprimento
e massa
uniformemente distribuída, então a densidade linear
, e
. Vou aplicar a fórmula
em cada caso.
Passo 3
Caso (b) — eixo perpendicular ao plano do anel (eixo central, chamemos de eixo
). Mini-intuição: todo ponto do anel está à mesma distância do eixo
, que é justamente o raio
. Portanto cada elemento de massa está a distância
do eixo, logo
Se preferir ver por integração em
: com
,
Isso é simples: o anel é equivalente a uma massa
concentrada continuamente a distância
do eixo, resultando em
.
Passo 4
Caso (a) — eixo no plano do anel passando pelo centro (por exemplo, eixo
, que é um diâmetro). Geometria: parametricamente, um ponto do anel tem posição em coordenadas polares
. A distância perpendicular desse ponto ao eixo
é
(porque projeta-se a coordenada
). Então pelo princípio
Substituindo
e integrando
de
a
:
Agora calculamos a integral trigonométrica. Lembrando a identidade
, temos
Substituindo de volta:
Passo 5
Verificação elegante por simetria (mini-aula opcional): o anel é uma lamina plana (fina) com simetria circular; pelo teorema dos eixos perpendiculares (perpendicular axis theorem) para objetos planos temos
onde
é o momento em relação ao eixo perpendicular ao plano e
são para dois eixos ortogonais no plano. Pelo círculo,
. Como já achamos
, obtemos
, ou seja
, que confere com a integração direta.
Passo 6
Resumo interpretativo (mini-aula curta para fixar):
- No eixo perpendicular ao plano, cada pedaço do anel está sempre a distância
do eixo, daí . - Num eixo no plano (diâmetro), a distância varia com o ângulo como
; o efeito médio de ao longo do círculo é , por isso aparece o fator .
Resposta
(a)
(b)
(b)