Determine the mass moment of inertia of ring of radius a about an axis
(a) passing through center in the plane of the ring, and
(b) passing through centre in a direction perpendicular to the plane of the ring.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de um anel fino (raio a) em duas situações:
(a) eixo passando pelo centro e contido no plano do anel;
(b) eixo passando pelo centro e perpendicular ao plano do anel.
Vou chamar a massa total do anel de M (o enunciado não especificou, então usamos M). Essas são as únicas informações que precisamos: o raio a e a massa M. A resolução começa agora.

Passo 2

Definição e ideia básica (mini-aula): o momento de inércia em relação a um eixo é
I=\int r^2\,dm,
onde r é a distância de cada elemento de massa dm até o eixo. Aqui r depende da posição do elemento no anel; dm é um pedaço infinitesimal da massa total M. Para um anel fino homogêneo podemos parametrizar os pontos pela coordenada angular \theta (ângulo polar), e usar que a massa por unidade de ângulo é constante:
dm=\frac{M}{2\pi}\,d\theta,
porque o anel tem comprimento 2\pi a e massa M uniformemente distribuída, então a densidade linear \lambda=M/(2\pi a), e dm=\lambda\,a\,d\theta=(M/(2\pi))\,d\theta. Vou aplicar a fórmula I=\int r^2\,dm em cada caso.

Passo 3

Caso (b) — eixo perpendicular ao plano do anel (eixo central, chamemos de eixo z). Mini-intuição: todo ponto do anel está à mesma distância do eixo z, que é justamente o raio a. Portanto cada elemento de massa está a distância r=a do eixo, logo
I_z=\int a^2\,dm=a^2\int dm=a^2 M.
Se preferir ver por integração em \theta: com dm=\dfrac{M}{2\pi}\,d\theta,
I_z=\int_0^{2\pi} a^2\left(\frac{M}{2\pi}\right)\,d\theta = a^2\frac{M}{2\pi}\cdot 2\pi = a^2 M.
Isso é simples: o anel é equivalente a uma massa M concentrada continuamente a distância a do eixo, resultando em I_z=Ma^2.

Passo 4

Caso (a) — eixo no plano do anel passando pelo centro (por exemplo, eixo x, que é um diâmetro). Geometria: parametricamente, um ponto do anel tem posição em coordenadas polares (a,\theta). A distância perpendicular desse ponto ao eixo x é r_\perp=a\sin\theta (porque projeta-se a coordenada y=a\sin\theta). Então pelo princípio
I_x=\int r_\perp^2\,dm=\int (a\sin\theta)^2\,dm = a^2\int \sin^2\theta\,dm.
Substituindo dm=\dfrac{M}{2\pi}\,d\theta e integrando \theta de 0 a 2\pi:
I_x = a^2\int_0^{2\pi} \sin^2\theta\left(\frac{M}{2\pi}\right)\,d\theta = a^2\frac{M}{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta.
Agora calculamos a integral trigonométrica. Lembrando a identidade \sin^2\theta=\tfrac{1}{2}(1-\cos 2\theta), temos
\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta = \int_0^{2\pi}\frac{1}{2}(1-\cos 2\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}\left[\theta - \frac{1}{2}\sin 2\theta\right]_0^{2\pi} = \frac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi.
Substituindo de volta:
I_x = a^2\frac{M}{2\pi}\cdot \pi = \frac{1}{2} M a^2.

Passo 5

Verificação elegante por simetria (mini-aula opcional): o anel é uma lamina plana (fina) com simetria circular; pelo teorema dos eixos perpendiculares (perpendicular axis theorem) para objetos planos temos
I_z = I_x + I_y,
onde I_z é o momento em relação ao eixo perpendicular ao plano e I_x,I_y são para dois eixos ortogonais no plano. Pelo círculo, I_x=I_y. Como já achamos I_z=Ma^2, obtemos 2I_x=Ma^2, ou seja I_x=\tfrac{1}{2}Ma^2, que confere com a integração direta.

Passo 6

Resumo interpretativo (mini-aula curta para fixar):
  • No eixo perpendicular ao plano, cada pedaço do anel está sempre a distância a do eixo, daí I=Ma^2.
  • Num eixo no plano (diâmetro), a distância varia com o ângulo como a\sin\theta; o efeito médio de \sin^2\theta ao longo do círculo é 1/2, por isso aparece o fator 1/2.

Resposta

(a) \displaystyle I_{\text{eixo no plano}}=\tfrac{1}{2} M a^2
(b) \displaystyle I_{\text{perpendicular ao plano}}=M a^2

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