SAQ 18
Determine radius of gyration of a circular area of radius a about a tangent line at peripheral point of the circle in its own plane and also about axis passing through this point and perpendicular to its plane.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o raio de giração de uma área circular sólida (disco) de raio a em dois eixos que passam por um ponto periférico (um ponto da borda do círculo):
  1. Raio de giração em relação a uma reta tangente ao círculo que passa por esse ponto e está no próprio plano do círculo.
  2. Raio de giração em relação a um eixo que passa por esse mesmo ponto e é perpendicular ao plano do círculo.
Informações dadas que vou usar:
  • Raio do círculo: a.
  • Área do disco (que é necessária para o raio de giração): A=\pi a^2.
O que eu tenho que encontrar em cada caso é o raio de giração k, definido por k=\sqrt{I/A}, onde I é o momento de inércia (segunda área) da área em relação ao eixo pedido e A é a área.

Passo 2

Primeiro eu preciso do momento de inércia do disco em torno de um eixo que passe pelo centro (esses valores são padrão e vou derivar de forma clara). Vou calcular o momento de inércia em torno de um eixo horizontal que passa pelo centro, digamos o eixo x centrado no centro do disco. A fórmula pela definição é
I_x=\iint_{A} y^2\,\mathrm{d}A.
Uso coordenadas polares (r,\theta) centradas no centro: y=r\sin\theta e \mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta. Então
I_x=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} (r\sin\theta)^2 \, r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta =\int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\,\mathrm{d}\theta \int_{0}^{a} r^3\,\mathrm{d}r.
Calculo as integrais separadamente:
\int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\,\mathrm{d}\theta=\pi, \qquad \int_{0}^{a} r^3\,\mathrm{d}r=\frac{a^4}{4}.
Multiplicando,
I_x=\pi\cdot\frac{a^4}{4}=\frac{\pi a^4}{4}.
Pela simetria, o momento de inércia em torno do eixo vertical centrado I_y é igual a I_x.

Passo 3

O momento polar de inércia em torno de um eixo perpendicular ao plano e passando pelo centro (chamo de J_G) é a soma dos momentos em torno de dois eixos perpendiculares no plano:
J_G=I_x+I_y=\frac{\pi a^4}{4}+\frac{\pi a^4}{4}=\frac{\pi a^4}{2}.

Passo 4

Vou usar o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner) para transladar momentos do centro para um eixo paralelo que passa por um ponto periférico. O teorema diz que, para um eixo paralelo deslocado por distância d,
I_{\text{novo}}=I_G + A d^2,
onde I_G é o momento em torno do eixo que passa pelo centro e paralelo ao novo eixo, A é a área, e d é a distância entre os eixos.
No nosso caso o ponto periférico está à distância d=a do centro.

Passo 5

Cálculo do momento de inércia em relação à reta tangente no plano (primeira pergunta).
Escolho o eixo no centro paralelo à tangente e no plano — isso tem momento I_G^{\text{(plano)}}=I_x=\dfrac{\pi a^4}{4}. A distância entre o eixo central e a tangente que passa pelo ponto da borda é d=a. Aplicando Steiner:
I_{\text{tangente}}=I_x + A a^2=\frac{\pi a^4}{4} + \pi a^2\cdot a^2 =\frac{\pi a^4}{4}+\pi a^4=\frac{5\pi a^4}{4}.
Agora o raio de giração relativo à tangente é
k_{\text{tangente}}=\sqrt{\frac{I_{\text{tangente}}}{A}} =\sqrt{\frac{\tfrac{5\pi a^4}{4}}{\pi a^2}} =\sqrt{\frac{5a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.

Passo 6

Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao plano passando pelo ponto periférico (segunda pergunta).
O momento polar no centro é J_G=\dfrac{\pi a^4}{2}. A distância do centro ao ponto periférico é d=a. Aplicando Steiner para o momento polar (a mesma forma vale para eixos paralelos):
J_{\text{ponto}}=J_G + A a^2=\frac{\pi a^4}{2} + \pi a^4 =\frac{3\pi a^4}{2}.
O raio de giração relativo a esse eixo perpendicular é
k_{\perp}=\sqrt{\frac{J_{\text{ponto}}}{A}} =\sqrt{\frac{\tfrac{3\pi a^4}{2}}{\pi a^2}} =\sqrt{\frac{3a^2}{2}}=a\sqrt{\frac{3}{2}}.

Resposta

k_{\text{tangente}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\n k_{\perp}=a\sqrt{\dfrac{3}{2}}

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