SAQ 18
Determine radius of gyration of a circular area of radius
about a tangent line at peripheral point of the circle in its own plane and also about axis passing through this point and perpendicular to its plane.
Determine radius of gyration of a circular area of radius
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o raio de giração de uma área circular sólida (disco) de raio
em dois eixos que passam por um ponto periférico (um ponto da borda do círculo):
- Raio de giração em relação a uma reta tangente ao círculo que passa por esse ponto e está no próprio plano do círculo.
- Raio de giração em relação a um eixo que passa por esse mesmo ponto e é perpendicular ao plano do círculo.
Informações dadas que vou usar:
- Raio do círculo:
. - Área do disco (que é necessária para o raio de giração):
.
O que eu tenho que encontrar em cada caso é o raio de giração
, definido por
, onde
é o momento de inércia (segunda área) da área em relação ao eixo pedido e
é a área.
Passo 2
Primeiro eu preciso do momento de inércia do disco em torno de um eixo que passe pelo centro (esses valores são padrão e vou derivar de forma clara). Vou calcular o momento de inércia em torno de um eixo horizontal que passa pelo centro, digamos o eixo
centrado no centro do disco. A fórmula pela definição é
Uso coordenadas polares
centradas no centro:
e
. Então
Calculo as integrais separadamente:
Multiplicando,
Pela simetria, o momento de inércia em torno do eixo vertical centrado
é igual a
.
Passo 3
O momento polar de inércia em torno de um eixo perpendicular ao plano e passando pelo centro (chamo de
) é a soma dos momentos em torno de dois eixos perpendiculares no plano:
Passo 4
Vou usar o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner) para transladar momentos do centro para um eixo paralelo que passa por um ponto periférico. O teorema diz que, para um eixo paralelo deslocado por distância
,
onde
é o momento em torno do eixo que passa pelo centro e paralelo ao novo eixo,
é a área, e
é a distância entre os eixos.
No nosso caso o ponto periférico está à distância
do centro.
Passo 5
Cálculo do momento de inércia em relação à reta tangente no plano (primeira pergunta).
Escolho o eixo no centro paralelo à tangente e no plano — isso tem momento
. A distância entre o eixo central e a tangente que passa pelo ponto da borda é
. Aplicando Steiner:
Agora o raio de giração relativo à tangente é
Passo 6
Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao plano passando pelo ponto periférico (segunda pergunta).
O momento polar no centro é
. A distância do centro ao ponto periférico é
. Aplicando Steiner para o momento polar (a mesma forma vale para eixos paralelos):
O raio de giração relativo a esse eixo perpendicular é