SAQ 19
Determine mass moment of inertia of the circular thin plate (Disc) of radius
and mass
about a centroidal axis. Mass is uniformly distributed all over the area .
Determine mass moment of inertia of the circular thin plate (Disc) of radius
Passo 1
O enunciado pede: determinar o momento de inércia de massa do disco fino circular de raio
e massa
em relação a um eixo centroidal.
Informações dadas: massa distribuída uniformemente sobre a área do disco de raio
. O eixo centroidal é o eixo que passa pelo centro do disco e é perpendicular ao plano do disco (isto é, o eixo normal ao disco passando pelo centro).
Informações dadas: massa
Passo 2
Definição usada (o que significa o que queremos calcular): o momento de inércia de uma lâmina fina em relação a um eixo perpendicular ao plano é a soma (integral) de
vezes o elemento de massa
, onde
é a distância (no plano) de cada elemento de massa ao eixo. Em forma integral:
Aqui
é o momento de inércia que queremos,
é a distância do elemento de massa ao eixo (variando de
a
) e
é a massa desse elemento infinitesimal.
Passo 3
Expressar
em termos da densidade superficial e do elemento de área: como a massa é distribuída uniformemente pela área, definimos a densidade de área (massa por unidade de área)
Então um elemento de massa é
onde
é um elemento de área.
Passo 4
Escolha de coordenadas e expressão de
: devido à simetria do disco, é natural usar coordenadas polares
, em que
é a distância radial ao centro e
é o ângulo polar. Nesse sistema o elemento de área é
Explicação rápida: um pequeno anel radial entre
e
com ângulo
tem comprimento angular
e espessura
, logo área aproximada
.
Passo 5
Montar a integral do momento de inércia usando o que definimos: substituir
e
na fórmula
. Obtemos
Colocando os fatores fora conforme apropriado:
Passo 6
Calcular as integrais iteradas, começando pela integral em
:
Agora a integral em
:
Juntando os resultados:
Passo 7
Substituir
na expressão obtida:
Simplificando os fatores
e potências de
:
Passo 8
Interpretação final e verificação rápida de unidade: o resultado tem dimensão massa vezes comprimento ao quadrado (unidade correta para momento de inércia). Portanto a expressão faz sentido físico.