SAQ 19
Determine mass moment of inertia of the circular thin plate (Disc) of radius a and mass M about a centroidal axis. Mass is uniformly distributed all over the area .

Passo 1

O enunciado pede: determinar o momento de inércia de massa do disco fino circular de raio a e massa M em relação a um eixo centroidal.
Informações dadas: massa M distribuída uniformemente sobre a área do disco de raio a. O eixo centroidal é o eixo que passa pelo centro do disco e é perpendicular ao plano do disco (isto é, o eixo normal ao disco passando pelo centro).

Passo 2

Definição usada (o que significa o que queremos calcular): o momento de inércia de uma lâmina fina em relação a um eixo perpendicular ao plano é a soma (integral) de \rho^2 vezes o elemento de massa dm, onde \rho é a distância (no plano) de cada elemento de massa ao eixo. Em forma integral:
I=\iint \rho^{2}\,dm.
Aqui I é o momento de inércia que queremos, \rho é a distância do elemento de massa ao eixo (variando de 0 a a) e dm é a massa desse elemento infinitesimal.

Passo 3

Expressar dm em termos da densidade superficial e do elemento de área: como a massa é distribuída uniformemente pela área, definimos a densidade de área (massa por unidade de área)
\sigma=\frac{M}{\text{área do disco}}=\frac{M}{\pi a^{2}}.á
Então um elemento de massa é
dm=\sigma\,dA,
onde dA é um elemento de área.

Passo 4

Escolha de coordenadas e expressão de dA: devido à simetria do disco, é natural usar coordenadas polares (\rho,\theta), em que \rho é a distância radial ao centro e \theta é o ângulo polar. Nesse sistema o elemento de área é
dA=\rho\,d\rho\,d\theta.
Explicação rápida: um pequeno anel radial entre \rho e \rho+d\rho com ângulo d\theta tem comprimento angular \rho\,d\theta e espessura d\rho, logo área aproximada \rho\,d\rho\,d\theta.

Passo 5

Montar a integral do momento de inércia usando o que definimos: substituir dm=\sigma\,dA e dA=\rho\,d\rho\,d\theta na fórmula I=\iint \rho^{2}\,dm. Obtemos
I=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} \rho^{2}\bigl(\sigma\,\rho\,d\rho\,d\theta\bigr).
Colocando os fatores fora conforme apropriado:
I=\sigma\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}\rho^{3}\,d\rho\,d\theta.

Passo 6

Calcular as integrais iteradas, começando pela integral em \rho:
\int_{0}^{a}\rho^{3}\,d\rho=\left[\frac{\rho^{4}}{4}\right]_{0}^{a}=\frac{a^{4}}{4}.
Agora a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Juntando os resultados:
I=\sigma\cdot 2\pi\cdot\frac{a^{4}}{4}=\sigma\cdot\frac{\pi a^{4}}{2}.

Passo 7

Substituir \sigma=\dfrac{M}{\pi a^{2}} na expressão obtida:
I=\left(\frac{M}{\pi a^{2}}\right)\cdot\frac{\pi a^{4}}{2}.
Simplificando os fatores \pi e potências de a:
I=\frac{M a^{2}}{2}.

Passo 8

Interpretação final e verificação rápida de unidade: o resultado tem dimensão massa vezes comprimento ao quadrado (unidade correta para momento de inércia). Portanto a expressão faz sentido físico.

Resposta

I=\frac{1}{2}Ma^{2}

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