Determine the resultant internal normal and shear force in the member at section
, each of which passes through the centroid
. The 500-lb load is applied along the centroidal axis of the member.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o resultante interno normal e o resultante interno de cisalhamento (shear) na seção
do elemento, sendo que ambos os resultantes passam pelo centróide
. Foi informado que uma carga de
lb está aplicada ao longo do eixo centrodal do membro (ou seja, a linha de ação da força passa pelo centróide
e segue o eixo do membro). Não foram fornecidos desenhos adicionais, mas a informação essencial dada é: a força externa é uma força concentrada de
lb aplicada ao longo do eixo centróide do membro, passando por
.
Passo 2
O que queremos calcular, em termos simples:
- O resultante interno normal
na seção : é a componente da força interna que age ao longo do eixo longitudinal do membro (compressão ou tração). - O resultante interno de cisalhamento
na seção : é a componente da força interna perpendicular ao eixo longitudinal (transversal à seção), que tende a cortar a seção.
Vou usar o método clássico de “cortar” o membro na seção
e considerar o equilíbrio da parte de um lado da seção (free-body). Pelo princípio de equilíbrio estático, a soma das forças externas aplicadas à parte isolada mais as forças internas na seção deve ser zero. A ideia é: a força interna resultante na seção é igual e oposta à soma das forças externas aplicadas na parte isolada.
Passo 3
Explicando as definições e convenções (aulas rápidas, passo a passo):
- Definição de força normal
: é a componente da força resultante que atua paralelamente ao eixo do membro. Positivo para tração (puxando), negativo para compressão (empurrando). Matematicamente, se é a força externa, e é o vetor unitário ao longo do eixo do membro, então
- Definição de cisalhamento
: é a componente da força resultante perpendicular ao eixo (em qualquer direção transversal escolhida). Se é um vetor unitário transverse à seção, então
Essas duas fórmulas são só projeções (produto escalar) da força total nas direções axial e transversal. Se a força está exatamente ao longo do eixo axial, sua projeção transversal é zero.
Passo 4
Aplicando isso ao problema concreto: a força externa tem magnitude
lb e sua linha de ação é o eixo centrodal do membro, passando por
. Logo, a força externa está colinear com
. Seja
(o sinal indica sentido; aqui tomo positivo no sentido de tração para exemplificar).
Projete
nas direções axial e transversal:
- Componente axial (normal):
(O resultado está em libras,
. Se a força apontar no sentido que produz tração,
; se no sentido oposto,
, indicando compressão.)
- Componente transversal (cisalhamento):
porque
é paralelo ao eixo e, portanto, perpendicularmente tem componente nula.
Passo 5
Interpretação física e regra prática para a prova:
- Quando uma força externa atua exatamente pela linha que passa pelo centróide da seção e ao longo do eixo do membro, essa força não cria componente transversal nessa seção — logo, não há força cortante na seção; existe somente uma força axial (normal).
- Procedimento rápido em prova: identifique a linha de ação. Se ela cruza o centróide e é paralela ao eixo do membro, então
e é igual à magnitude da carga (com sinal conforme o sentido).
Passo 6
Exemplo breve para fixar: se a mesma carga de
lb fosse aplicada longe do centróide (fora do eixo), ao cortar na seção você teria:
- Uma componente axial igual à projeção da força no eixo (pode ser zero se a força for puramente transversal),
- Uma componente de cisalhamento igual à projeção transversal (não zero),
- E ainda um momento interno (torque/bending) devido ao braço de alavanca.
Mas no nosso caso dado, o braço é zero e, portanto, não há momento nem cisalhamento.
Resposta
Força normal:
Força cortante:
Força cortante: