Determine the resultant internal normal and shear force in the member at section a-a, each of which passes through the centroid A. The 500-lb load is applied along the centroidal axis of the member.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o resultante interno normal e o resultante interno de cisalhamento (shear) na seção a\!-\!a do elemento, sendo que ambos os resultantes passam pelo centróide A. Foi informado que uma carga de 500 lb está aplicada ao longo do eixo centrodal do membro (ou seja, a linha de ação da força passa pelo centróide A e segue o eixo do membro). Não foram fornecidos desenhos adicionais, mas a informação essencial dada é: a força externa é uma força concentrada de 500 lb aplicada ao longo do eixo centróide do membro, passando por A.

Passo 2

O que queremos calcular, em termos simples:
  • O resultante interno normal N na seção a\!-\!a: é a componente da força interna que age ao longo do eixo longitudinal do membro (compressão ou tração).
  • O resultante interno de cisalhamento V na seção a\!-\!a: é a componente da força interna perpendicular ao eixo longitudinal (transversal à seção), que tende a cortar a seção.
Vou usar o método clássico de “cortar” o membro na seção a\!-\!a e considerar o equilíbrio da parte de um lado da seção (free-body). Pelo princípio de equilíbrio estático, a soma das forças externas aplicadas à parte isolada mais as forças internas na seção deve ser zero. A ideia é: a força interna resultante na seção é igual e oposta à soma das forças externas aplicadas na parte isolada.

Passo 3

Explicando as definições e convenções (aulas rápidas, passo a passo):
  • Definição de força normal N: é a componente da força resultante que atua paralelamente ao eixo do membro. Positivo para tração (puxando), negativo para compressão (empurrando). Matematicamente, se \mathbf{F} é a força externa, e \hat{\mathbf{e}}_{\text{axial}} é o vetor unitário ao longo do eixo do membro, então
N \;=\; \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{e}}_{\text{axial}}.
  • Definição de cisalhamento V: é a componente da força resultante perpendicular ao eixo (em qualquer direção transversal escolhida). Se \hat{\mathbf{e}}_{\perp} é um vetor unitário transverse à seção, então
V \;=\; \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{e}}_{\perp}.
Essas duas fórmulas são só projeções (produto escalar) da força total nas direções axial e transversal. Se a força está exatamente ao longo do eixo axial, sua projeção transversal é zero.

Passo 4

Aplicando isso ao problema concreto: a força externa tem magnitude 500 lb e sua linha de ação é o eixo centrodal do membro, passando por A. Logo, a força externa está colinear com \hat{\mathbf{e}}_{\text{axial}}. Seja \mathbf{F}=500\,\hat{\mathbf{e}}_{\text{axial}} (o sinal indica sentido; aqui tomo positivo no sentido de tração para exemplificar).
Projete \mathbf{F} nas direções axial e transversal:
  • Componente axial (normal):
N \;=\; \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{e}}_{\text{axial}} \;=\; 500.
(O resultado está em libras, \mathrm{lb}. Se a força apontar no sentido que produz tração, N=+500\,\mathrm{lb}; se no sentido oposto, N=-500\,\mathrm{lb}, indicando compressão.)
  • Componente transversal (cisalhamento):
V \;=\; \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{e}}_{\perp} \;=\; 0,
porque \mathbf{F} é paralelo ao eixo e, portanto, perpendicularmente tem componente nula.

Passo 5

Interpretação física e regra prática para a prova:
  • Quando uma força externa atua exatamente pela linha que passa pelo centróide da seção e ao longo do eixo do membro, essa força não cria componente transversal nessa seção — logo, não há força cortante na seção; existe somente uma força axial (normal).
  • Procedimento rápido em prova: identifique a linha de ação. Se ela cruza o centróide e é paralela ao eixo do membro, então V=0 e N é igual à magnitude da carga (com sinal conforme o sentido).

Passo 6

Exemplo breve para fixar: se a mesma carga de 500 lb fosse aplicada longe do centróide (fora do eixo), ao cortar na seção você teria:
  • Uma componente axial igual à projeção da força no eixo (pode ser zero se a força for puramente transversal),
  • Uma componente de cisalhamento igual à projeção transversal (não zero),
  • E ainda um momento interno (torque/bending) devido ao braço de alavanca.
    Mas no nosso caso dado, o braço é zero e, portanto, não há momento nem cisalhamento.

Resposta

Força normal: 500\\ \mathrm{lb}
Força cortante: 0\\ \mathrm{lb}

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