The beam supports the triangular distributed load shown. Determine the resultant internal loadings on the cross section at point C. Assume the reactions at the supports A and B are vertical.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as resultantes internas na seção em C (ou seja, a força axial N_C, o esforço cortante V_C e o momento fletor M_C) para a viga que suporta a carga triangular mostrada. Foi dada a informação de que as reações nos apoios A e B são verticais.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Há uma carga distribuída triangular ao longo da viga (a figura foi mencionada).
  • As reações em A e B são verticais.
Informações que faltam na figura/enunciado que são necessárias para um resultado numérico:
  • a geometria exata da viga (comprimento total L);
  • a posição exata do ponto C (distância até C medida a partir de A, que chamarei de x_C);
  • a orientação e a intensidade máxima da carga triangular (por exemplo: zero em A e máxima \,w_0 em B, ou o contrário, ou localizada em um trecho).
    Sem esses dados numéricos não é possível dar um valor numérico final.
Para ser útil na sua prova, vou adotar a configuração mais comum (que costumo ver em exercícios): a carga triangular ocupa toda a viga de A ( x=0) até B ( x=L), com intensidade zero em A e intensidade máxima \,w_0 em B. Vou apresentar a resolução simbólica detalhada para essa configuração, usando x_C como a distância de A até C. Se a sua figura for diferente, você pode substituir os parâmetros conforme necessário — a ideia e os passos são os mesmos. Não estou pedindo informação adicional, apenas explicando a hipótese que vou usar para resolver simbolicamente.

Passo 2

Definição do sistema de coordenadas e da carga (hipótese escolhida):
  • Origem em A, eixo positivo x para a direita até B em x=L.
  • A carga distribuída é triangular, com intensidade linear
w(x)=k x,\quad\text{onde}\quad k=\frac{w_0}{L},
de modo que w(0)=0 e w(L)=w_0.
  • O total da carga resultante (força concentrada equivalente) da carga triangular sobre toda a viga será chamada de R_{\text{tri}}.
    Explicação didática rápida (por que essa expressão de w(x)?): uma carga triangular que cresce linearmente do zero até \,w_0 ao longo de comprimento L tem slope k. Como queremos w(L)=w_0, temos k=w_0/L. É como uma reta que passa por (0,0) e (L,w_0).

Passo 3

Calcular a resultante da carga triangular sobre toda a viga e sua posição (centroide).
  • A área da figura triangular (que representa a força total) é
R_{\text{tri}}=\frac{1}{2}\cdot\text{base}\cdot\text{altura}=\frac{1}{2}\,L\,w_0.
Explicação: a carga distribuída é representada por uma área (intensidade × comprimento). Para um triângulo, área é metade da base vezes altura.
  • O centroide de um triângulo linear (com zero numa ponta e máximo na outra) fica a uma distância de \tfrac{2}{3}L a partir da extremidade onde a intensidade é zero (ou seja, a 2/3 do lado do vértice nulo, e a 1/3 a partir da ponta de maior intensidade). Assim, a posição do resultado em relação a A é
x_{\text{tri}}=\frac{2}{3}L.
Explicação geométrica: o centroide de um triângulo apoiado sobre a base está a 2/3 da base medido a partir do vértice.

Passo 4

Determinar as reações nos apoios A e B por equilíbrio do corpo inteiro.
Equilíbrios estáticos verticais e de momentos (não há forças horizontais neste caso, logo força axial global é zero).
  • Soma das forças verticais: \;R_A+R_B-R_{\text{tri}}=0.
  • Soma dos momentos em A: \;R_B L - R_{\text{tri}} x_{\text{tri}}=0.
    Substituindo R_{\text{tri}}=\tfrac{1}{2}L w_0 e x_{\text{tri}}=\tfrac{2}{3}L, obtemos:
R_B = \frac{R_{\text{tri}} x_{\text{tri}}}{L} = \frac{\left(\tfrac{1}{2}L w_0\right)\left(\tfrac{2}{3}L\right)}{L} = \frac{w_0 L}{3}.
Em seguida,
R_A = R_{\text{tri}} - R_B = \frac{1}{2}L w_0 - \frac{1}{3}L w_0 = \frac{1}{6}L w_0.
Verificação rápida (controle mental): R_A+R_B = \tfrac{1}{6}L w_0 + \tfrac{1}{3}L w_0 = \tfrac{1}{2}L w_0 = R_{\text{tri}}, ok.
Interpretação física curta: a reação em B é maior porque ali está o lado de maior intensidade da carga triangular.

Passo 5

Método de seção para obter os esforços internos em C. Vou cortar a viga imediatamente à direita da seção em C e olhar o equilíbrio da parte esquerda (de 0 até x_C). Esse é um método padrão: a equação do equilíbrio da parte cortada dá as forças internas na seção.
Primeiro, compute a força equivalente da parcela da carga triangular que fica entre x=0 e x=x_C.
  • A intensidade máxima naquele trecho, no ponto x=x_C, vale
w(x_C)=\frac{w_0}{L}\,x_C.
  • A resultante da carga triangular sobre o segmento 0 a x_C é a área do triângulo com base x_C e altura w(x_C):
R(x_C)=\frac{1}{2}\,x_C\,w(x_C) = \frac{1}{2}\,x_C\left(\frac{w_0}{L}x_C\right) = \frac{w_0}{2L}\,x_C^2.
  • O centroide dessa pequena triângulo está a uma distância \tfrac{2}{3}x_C de A.
Explicação: para obter a contribuição do carregamento somente até a seção, repetimos a ideia de área do triângulo e seu centroide.

Passo 6

Escrever agora as equações de equilíbrio para a parte esquerda (entre A e C) que nos dão os esforços internos na seção C.
Força axial N_C:
  • Não há carregamento horizontal nem reações horizontais (hipótese original: apoios apenas verticais), portanto
N_C=0.
Explicação: esforço normal aparece só se houver força ao longo da viga. Aqui não há.
Esforço cortante V_C (convenção: positivo quando a resultante das forças internas na seção aponta para cima no lado cortado esquerdo — uso da expressão habitual):
  • Equilíbrio vertical da porção esquerda:
R_A - R(x_C) - V_C = 0 \quad\Longrightarrow\quad V_C = R_A - R(x_C).
Substituindo R_A=\dfrac{w_0 L}{6} e R(x_C)=\dfrac{w_0}{2L}x_C^2, obtemos
V_C = \frac{w_0 L}{6} - \frac{w_0}{2L}\,x_C^2.
Podemos fatorar para ficar mais “bonito”:
V_C = \frac{w_0}{6L}\left(L^2 - 3x_C^2\right).
Explicação: o cortante em C é a soma algébrica das forças verticais à esquerda da seção (a reação R_A positiva para cima menos a carga distribuída equivalente sobre 0 a x_C).
Momento fletor M_C (positivo no sentido clássico que produz tensão de tração na fibra inferior — mas o sinal pode variar conforme convenção; aqui eu apresento a expressão algébrica):
  • Equilíbrio de momentos em relação à seção: somamos momentos das forças à esquerda produzidos sobre a seção. Para a parte esquerda:
M_C = R_A\cdot x_C - R(x_C)\cdot\left(\tfrac{2}{3}x_C\right).
Substituindo R_A e R(x_C):
M_C = \frac{w_0 L}{6}\,x_C - \frac{w_0}{2L}x_C^2\cdot\frac{2}{3}x_C.
Simplificando o segundo termo: \dfrac{w_0}{2L}x_C^2\cdot\dfrac{2}{3}x_C = \dfrac{w_0}{3L}x_C^3. Então
M_C = \frac{w_0 L}{6}\,x_C - \frac{w_0}{3L}\,x_C^3.
Fatorando \dfrac{w_0}{6L}:
M_C = \frac{w_0}{6L}\left(L^2 x_C - 2 x_C^3\right) = \frac{w_0 x_C}{6L}\left(L^2 - 2 x_C^2\right).
Explicação: o momento interno em C é a soma dos momentos das forças à esquerda sobre a seção: reação R_A produz momento positivo R_A x_C, a carga equivalente sobre 0 a x_C produz momento subtraído R(x_C)\cdot(2/3 x_C).

Passo 7

Observações finais e checagens rápidas (como usar na prova):
  • Se quiser o valor no ponto médio x_C=\tfrac{L}{2} (apenas como exemplo de cálculo rápido), substitua em cada fórmula:
    • R(x_C)=\dfrac{w_0}{2L}\left(\tfrac{L}{2}\right)^2=\dfrac{w_0 L}{8}.
    • V_C=\dfrac{w_0 L}{6}-\dfrac{w_0 L}{8}=\dfrac{w_0 L}{24}.
    • M_C=\dfrac{w_0 L}{6}\cdot \tfrac{L}{2}-\dfrac{w_0}{3L}\cdot \tfrac{L^3}{8}=\dfrac{w_0 L^2}{12}-\dfrac{w_0 L^2}{24}=\dfrac{w_0 L^2}{24}.
      Isso mostra que as fórmulas funcionam e produzem valores consistentes.
  • Lembre-se: se a sua figura tiver a base do triângulo no A (máxima em A) ou se o triângulo estiver deslocado (não ocupar toda a viga), você precisa refazer os passos calculando a área e o centroide da porção correspondente — a metodologia é idêntica, só mudam as expressões geométricas.

Resposta

N_C=0
V_C=\displaystyle \frac{w_0 L}{6}-\frac{w_0}{2L}\,x_C^{2}=\displaystyle \frac{w_0}{6L}\left(L^{2}-3x_C^{2}\right)
M_C=\displaystyle \frac{w_0 L}{6}\,x_C-\frac{w_0}{3L}\,x_C^{3}=\displaystyle \frac{w_0}{6L}\left(L^{2}x_C-2x_C^{3}\right)

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