The beam supports the triangular distributed load shown. Determine the resultant internal loadings on the cross section at point
. Assume the reactions at the supports
and
are vertical.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as resultantes internas na seção em
(ou seja, a força axial
, o esforço cortante
e o momento fletor
) para a viga que suporta a carga triangular mostrada. Foi dada a informação de que as reações nos apoios
e
são verticais.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- Há uma carga distribuída triangular ao longo da viga (a figura foi mencionada).
- As reações em
e são verticais.
Informações que faltam na figura/enunciado que são necessárias para um resultado numérico:
- a geometria exata da viga (comprimento total
); - a posição exata do ponto
(distância até medida a partir de , que chamarei de ); - a orientação e a intensidade máxima da carga triangular (por exemplo: zero em
e máxima em , ou o contrário, ou localizada em um trecho).
Sem esses dados numéricos não é possível dar um valor numérico final.
Para ser útil na sua prova, vou adotar a configuração mais comum (que costumo ver em exercícios): a carga triangular ocupa toda a viga de
(
) até
(
), com intensidade zero em
e intensidade máxima
em
. Vou apresentar a resolução simbólica detalhada para essa configuração, usando
como a distância de
até
. Se a sua figura for diferente, você pode substituir os parâmetros conforme necessário — a ideia e os passos são os mesmos. Não estou pedindo informação adicional, apenas explicando a hipótese que vou usar para resolver simbolicamente.
Passo 2
Definição do sistema de coordenadas e da carga (hipótese escolhida):
- Origem em
, eixo positivo para a direita até em . - A carga distribuída é triangular, com intensidade linear
de modo que
e
.
- O total da carga resultante (força concentrada equivalente) da carga triangular sobre toda a viga será chamada de
.
Explicação didática rápida (por que essa expressão de?): uma carga triangular que cresce linearmente do zero até ao longo de comprimento tem slope . Como queremos , temos . É como uma reta que passa por e .
Passo 3
Calcular a resultante da carga triangular sobre toda a viga e sua posição (centroide).
- A área da figura triangular (que representa a força total) é
Explicação: a carga distribuída é representada por uma área (intensidade × comprimento). Para um triângulo, área é metade da base vezes altura.
- O centroide de um triângulo linear (com zero numa ponta e máximo na outra) fica a uma distância de
a partir da extremidade onde a intensidade é zero (ou seja, a do lado do vértice nulo, e a a partir da ponta de maior intensidade). Assim, a posição do resultado em relação a é
Explicação geométrica: o centroide de um triângulo apoiado sobre a base está a
da base medido a partir do vértice.
Passo 4
Determinar as reações nos apoios
e
por equilíbrio do corpo inteiro.
Equilíbrios estáticos verticais e de momentos (não há forças horizontais neste caso, logo força axial global é zero).
Equilíbrios estáticos verticais e de momentos (não há forças horizontais neste caso, logo força axial global é zero).
- Soma das forças verticais:
- Soma dos momentos em
:
Substituindoe , obtemos:
Em seguida,
Verificação rápida (controle mental):
, ok.
Interpretação física curta: a reação em
é maior porque ali está o lado de maior intensidade da carga triangular.
Passo 5
Método de seção para obter os esforços internos em
. Vou cortar a viga imediatamente à direita da seção em
e olhar o equilíbrio da parte esquerda (de
até
). Esse é um método padrão: a equação do equilíbrio da parte cortada dá as forças internas na seção.
Primeiro, compute a força equivalente da parcela da carga triangular que fica entre
e
.
- A intensidade máxima naquele trecho, no ponto
, vale
- A resultante da carga triangular sobre o segmento
a é a área do triângulo com base e altura :
- O centroide dessa pequena triângulo está a uma distância
de .
Explicação: para obter a contribuição do carregamento somente até a seção, repetimos a ideia de área do triângulo e seu centroide.
Passo 6
Escrever agora as equações de equilíbrio para a parte esquerda (entre
e
) que nos dão os esforços internos na seção
.
Força axial
:
- Não há carregamento horizontal nem reações horizontais (hipótese original: apoios apenas verticais), portanto
Explicação: esforço normal aparece só se houver força ao longo da viga. Aqui não há.
Esforço cortante
(convenção: positivo quando a resultante das forças internas na seção aponta para cima no lado cortado esquerdo — uso da expressão habitual):
- Equilíbrio vertical da porção esquerda:
Substituindo
e
, obtemos
Podemos fatorar para ficar mais “bonito”:
Explicação: o cortante em
é a soma algébrica das forças verticais à esquerda da seção (a reação
positiva para cima menos a carga distribuída equivalente sobre
a
).
Momento fletor
(positivo no sentido clássico que produz tensão de tração na fibra inferior — mas o sinal pode variar conforme convenção; aqui eu apresento a expressão algébrica):
- Equilíbrio de momentos em relação à seção: somamos momentos das forças à esquerda produzidos sobre a seção. Para a parte esquerda:
Substituindo
e
:
Simplificando o segundo termo:
. Então
Fatorando
:
Explicação: o momento interno em
é a soma dos momentos das forças à esquerda sobre a seção: reação
produz momento positivo
, a carga equivalente sobre
a
produz momento subtraído
.
Passo 7
Observações finais e checagens rápidas (como usar na prova):
- Se quiser o valor no ponto médio
(apenas como exemplo de cálculo rápido), substitua em cada fórmula: -
. -
. -
Isso mostra que as fórmulas funcionam e produzem valores consistentes.
-
- Lembre-se: se a sua figura tiver a base do triângulo no
(máxima em ) ou se o triângulo estiver deslocado (não ocupar toda a viga), você precisa refazer os passos calculando a área e o centroide da porção correspondente — a metodologia é idêntica, só mudam as expressões geométricas.