Determine the upper and lower limits of the sequences with the following general terms and provide a reason for the answers:
a) n^{(-1)^{n}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os limites superior e inferior (upper and lower limits) da sequência cujo termo geral é \;n^{(-1)^{n}}.\n
Informações fornecidas e observações óbvias do enunciado:
  • A sequência é \;a_n = n^{(-1)^{n}}.
  • A expressão (-1)^{n} alterna entre +1 (quando n é par) e -1 (quando n é ímpar).
  • Logo, para n par temos um tipo de termo e para n ímpar outro tipo de termo.
    (Não vou resolver ainda — só listei o que o problema dá.)

Passo 2

Definições e intuição que vamos usar (explicação didática):
  • Definimos o limite superior (lim sup) por
\limsup_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \left(\sup_{m\ge n} a_m\right).
Isto significa: para cada n olhamos o maior valor entre os termos a partir de a_n,a_{n+1},\dots; isso nos dá uma sequência de supremos; o limite quando n\to\infty dessa sequência de supremos é a lim sup. Intuitivamente, lim sup é “o maior valor de acumulação” da sequência quando olhamos para frente.
  • Definimos o limite inferior (lim inf) por
\liminf_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \left(\inf_{m\ge n} a_m\right).
Isto significa: para cada n olhamos o menor valor entre os termos a partir de a_n,a_{n+1},\dots; tomamos o limite desses ínfimos quando n\to\infty. Intuitivamente, lim inf é “o menor valor de acumulação”.
  • Observação prática: se houver duas subsequências com limites diferentes, a lim sup será o maior desses limites (pode ser +\infty) e a lim inf será o menor (pode ser 0 ou -\infty), mas é melhor calcular explicitamente as subsequências relevantes aqui.

Passo 3

Caracterização das subsequências pares e ímpares (transformação do termo geral):
  • Quando n é par, (-1)^{n}=+1. Portanto, para n par vale
a_n = n^{1} = n.
  • Quando n é ímpar, (-1)^{n}=-1. Portanto, para n ímpar vale
a_n = n^{-1} = \frac{1}{n}.
Ou seja, a sequência alterna entre termos grandes (próximos de n) nos índices pares e termos pequenos (próximos de 1/n) nos índices ímpares.

Passo 4

Comportamento da subsequência dos índices pares:
  • Considere a subsequência a_{2k} = 2k (aqui escrevo n=2k com k\in\mathbb{N}). Esta é a sequência 2,4,6,8,\dots.
  • Essa subsequência cresce sem limite; formalmente, para qualquer número M>0 existe K tal que, se k\ge K, então 2k > M. Por exemplo, escolha K=\left\lceil M/2 \right\rceil. Logo
\lim_{k\to\infty} a_{2k} = +\infty.
  • Intuição: os termos pares vão para o infinito.

Passo 5

Comportamento da subsequência dos índices ímpares:
  • Considere a subsequência a_{2k+1} = \dfrac{1}{2k+1} (aqui n=2k+1). Esta é a sequência 1, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{5}, \dots (note que o primeiro termo a_1=1).
  • Essa subsequência tende a zero; formalmente, para qualquer \varepsilon>0 existe K tal que, se k\ge K, então \dfrac{1}{2k+1} < \varepsilon. Por exemplo, escolha K com 2K+1 > 1/\varepsilon. Logo
\lim_{k\to\infty} a_{2k+1} = 0.
  • Intuição: os termos ímpares se aproximam de zero.

Passo 6

Cálculo da \limsup usando o fato dos pares irem a +\infty:
  • Para cada n fixo, a cauda \{a_m: m\ge n\} contém termos com índices pares arbitrariamente grandes (porque sempre há pares maiores que n). Esses termos pares valem números arbitrariamente grandes (pois a_{2k}=2k cresce sem limite).
  • Portanto, para todo n a supremum do conjunto \{a_m: m\ge n\} é +\infty. Em símbolos,
\sup_{m\ge n} a_m = +\infty \qquad\text{para todo } n.
  • Assim a sequência dos supremos é constantemente +\infty, e
\limsup_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \left(\sup_{m\ge n} a_m\right) = +\infty.

Passo 7

Cálculo da \liminf usando o fato dos ímpares tenderem a 0:
  • Para cada n fixo, a cauda \{a_m: m\ge n\} contém termos ímpares suficientemente grandes, e esses termos ímpares têm valores \dfrac{1}{\text{índice}}í que podem ser feitos arbitrariamente pequenos (tendem a 0).
  • Logo, para todo \varepsilon>0 e todo n, existe m\ge n (escolha um índice ímpar grande) com a_m<\varepsilon. Isso implica que o ínfimo da cauda não pode ser maior que qualquer \varepsilon>0; portanto
\inf_{m\ge n} a_m = 0 \qquad\text{para todo } n.
  • Assim a sequência dos ínfimos é constantemente 0, e
\liminf_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \left(\inf_{m\ge n} a_m\right) = 0.

Passo 8

Interpretação final e comentário rápido:
  • Resumindo, os termos pares explodem para +\infty enquanto os termos ímpares vão para 0. Por isso a lim sup é +\infty e a lim inf é 0.
  • Observação adicional (útil na prova): como lim sup \neq lim inf, a sequência não converge.

Resposta

\displaystyle \limsup_{n\to\infty} n^{(-1)^{n}} = +\infty\n
\displaystyle \liminf_{n\to\infty} n^{(-1)^{n}} = 0

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