Determine the upper and lower limits of the sequences with the following general terms and provide a reason for the answers:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede: determinar os limites superior e inferior (upper and lower limits) da sequência cujo termo geral é
.\n
Informações fornecidas e observações óbvias do enunciado:
Informações fornecidas e observações óbvias do enunciado:
- A sequência é
. - A expressão
alterna entre (quando é par) e (quando é ímpar). - Logo, para
par temos um tipo de termo e para ímpar outro tipo de termo.
(Não vou resolver ainda — só listei o que o problema dá.)
Passo 2
Definições e intuição que vamos usar (explicação didática):
- Definimos o limite superior (lim sup) por
Isto significa: para cada
olhamos o maior valor entre os termos a partir de
; isso nos dá uma sequência de supremos; o limite quando
dessa sequência de supremos é a lim sup. Intuitivamente, lim sup é “o maior valor de acumulação” da sequência quando olhamos para frente.
- Definimos o limite inferior (lim inf) por
Isto significa: para cada
olhamos o menor valor entre os termos a partir de
; tomamos o limite desses ínfimos quando
. Intuitivamente, lim inf é “o menor valor de acumulação”.
- Observação prática: se houver duas subsequências com limites diferentes, a lim sup será o maior desses limites (pode ser
) e a lim inf será o menor (pode ser ou ), mas é melhor calcular explicitamente as subsequências relevantes aqui.
Passo 3
Caracterização das subsequências pares e ímpares (transformação do termo geral):
- Quando
é par, . Portanto, para par vale
- Quando
é ímpar, . Portanto, para ímpar vale
Ou seja, a sequência alterna entre termos grandes (próximos de
) nos índices pares e termos pequenos (próximos de
) nos índices ímpares.
Passo 4
Comportamento da subsequência dos índices pares:
- Considere a subsequência
(aqui escrevo com ). Esta é a sequência . - Essa subsequência cresce sem limite; formalmente, para qualquer número
existe tal que, se , então . Por exemplo, escolha . Logo
- Intuição: os termos pares vão para o infinito.
Passo 5
Comportamento da subsequência dos índices ímpares:
- Considere a subsequência
(aqui ). Esta é a sequência (note que o primeiro termo ). - Essa subsequência tende a zero; formalmente, para qualquer
existe tal que, se , então . Por exemplo, escolha com . Logo
- Intuição: os termos ímpares se aproximam de zero.
Passo 6
Cálculo da
usando o fato dos pares irem a
:
- Para cada
fixo, a cauda contém termos com índices pares arbitrariamente grandes (porque sempre há pares maiores que ). Esses termos pares valem números arbitrariamente grandes (pois cresce sem limite). - Portanto, para todo
a supremum do conjunto é . Em símbolos,
- Assim a sequência dos supremos é constantemente
, e
Passo 7
Cálculo da
usando o fato dos ímpares tenderem a
:
- Para cada
fixo, a cauda contém termos ímpares suficientemente grandes, e esses termos ímpares têm valores que podem ser feitos arbitrariamente pequenos (tendem a ). - Logo, para todo
e todo , existe (escolha um índice ímpar grande) com . Isso implica que o ínfimo da cauda não pode ser maior que qualquer ; portanto
- Assim a sequência dos ínfimos é constantemente
, e
Passo 8
Interpretação final e comentário rápido:
- Resumindo, os termos pares explodem para
enquanto os termos ímpares vão para . Por isso a lim sup é e a lim inf é . - Observação adicional (útil na prova): como lim sup
lim inf, a sequência não converge.