Determine the upper and lower limits of the sequences with the following general terms and provide a reason for the answers:
b) \cos \left(\frac{n \pi}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o limite superior (limsup) e o limite inferior (liminf) da sequência que tem termo geral \cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right).
Informações dadas: o termo geral é \cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right) para n=1,2,3,\dots.
Objetivo neste exercício: encontrar \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right) e \displaystyle\liminf_{n\to\infty}\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right) e justificar por que esses são os valores.

Passo 2

Vamos lembrar, de forma simples e prática, o que são limsup e liminf.
  • Definição (pela operação em caudas): para uma sequência x_n,
\limsup_{n\to\infty} x_n = \lim_{N\to\infty} \left(\sup_{n\ge N} x_n\right),
\liminf_{n\to\infty} x_n = \lim_{N\to\infty} \left(\inf_{n\ge N} x_n\right).
Isto significa: para cada cauda da sequência (os termos a partir de algum índice N), tomo o supremo e o ínfimo dessa cauda; o limite desses supremos conforme N\to\infty é o limsup, e o limite dos ínfimos é o liminf.
  • Outra interpretação (útil aqui): \limsup é o maior valor de todos os limites de subsequências possíveis (maior ponto de acumulação), e \liminf é o menor desses limites (menor ponto de acumulação).
Vou usar essas ideias de modo concreto para a sequência dada.

Passo 3

Primeiro observe a periodicidade do cosseno. Como \cos(\theta+2\pi)=\cos\theta, a sequência \cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right) é periódica com período 6, porque
\frac{(n+6)\pi}{3} = \frac{n\pi}{3} + 2\pi,
então \cos\!\left(\frac{(n+6)\pi}{3}\right)=\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right).
Vamos calcular os valores para n equivalentes a 0,1,2,3,4,5 módulo 6. (É suficiente por causa da periodicidade.)
\cos\!\left(\frac{0\cdot\pi}{3}\right)=\cos 0 = 1,
\cos\!\left(\frac{1\cdot\pi}{3}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2},
\cos\!\left(\frac{2\cdot\pi}{3}\right)=\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2},
\cos\!\left(\frac{3\cdot\pi}{3}\right)=\cos\pi = -1,
\cos\!\left(\frac{4\cdot\pi}{3}\right)=\cos\!\left(\tfrac{4\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2},
\cos\!\left(\frac{5\cdot\pi}{3}\right)=\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

A partir do passo anterior, os valores que a sequência assume são apenas quatro valores que se repetem:
\{1,\; \tfrac{1}{2},\; -\tfrac{1}{2},\; -1\}.
Mais explicitamente, para inteiros k\ge 0:
n=6k \Rightarrow \cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)=1,
n=6k+1 \Rightarrow \cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2},
n=6k+2 \Rightarrow \cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2},
n=6k+3 \Rightarrow \cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)=-1,
n=6k+4 \Rightarrow \cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2},
n=6k+5 \Rightarrow \cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2}.
Cada um desses valores aparece em uma subsequência infinita (por exemplo, os índices 6k dão a subsequência constante 1, os índices 6k+3 dão a subsequência constante -1, etc.). Logo todos esses quatro números são limites de subsequências (pontos de acumulação).

Passo 5

Pela interpretação via subsequências: os limites de subsequências possíveis são exatamente os elementos do conjunto \{1,\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},-1\}. Portanto
\limsup_{n\to\infty}\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)=\max\{1,\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},-1\}=1,
\liminf_{n\to\infty}\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)=\min\{1,\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},-1\}=-1.

Passo 6

Para deixar ainda mais claro usando a definição por supremo/ínfimo de caudas: pegue qualquer índice N. Como existem infinitos índices múltiplos de 6, existe algum n\ge N com n múltiplo de 6, então a cauda \{ \cos(\tfrac{n\pi}{3}) : n\ge N\} contém o valor 1. Assim \sup_{n\ge N}\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)=1 (não pode ser maior que 1 porque cosseno vale no máximo 1). Portanto a sequência dos supremos das caudas é constante igual a 1, e seu limite é 1. Analogamente, existe sempre algum n\ge N com n\equiv 3\pmod 6, para o qual o termo vale -1, então \inf_{n\ge N}\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)=-1 para toda cauda, e a sequência dos ínfimos das caudas é constante -1. Assim os limites dos ínfimos das caudas é -1. Isso confirma de forma direta que \limsup=1 e \liminf=-1.

Resposta

\displaystyle \limsup_{n\to\infty}\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)=1
\displaystyle \liminf_{n\to\infty}\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)=-1

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