Determine the upper and lower limits of the sequences with the following general terms and provide a reason for the answers:
b)
’
b)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o limite superior (limsup) e o limite inferior (liminf) da sequência que tem termo geral
.
Informações dadas: o termo geral é para
.
Objetivo neste exercício: encontrar e
e justificar por que esses são os valores.
Informações dadas: o termo geral é
Objetivo neste exercício: encontrar
Passo 2
Vamos lembrar, de forma simples e prática, o que são limsup e liminf.
- Definição (pela operação em caudas): para uma sequência
,
Isto significa: para cada cauda da sequência (os termos a partir de algum índice
), tomo o supremo e o ínfimo dessa cauda; o limite desses supremos conforme
é o limsup, e o limite dos ínfimos é o liminf.
- Outra interpretação (útil aqui):
é o maior valor de todos os limites de subsequências possíveis (maior ponto de acumulação), e é o menor desses limites (menor ponto de acumulação).
Vou usar essas ideias de modo concreto para a sequência dada.
Passo 3
Primeiro observe a periodicidade do cosseno. Como
, a sequência
é periódica com período 6, porque
então
.
Vamos calcular os valores para
equivalentes a
módulo
. (É suficiente por causa da periodicidade.)
Passo 4
A partir do passo anterior, os valores que a sequência assume são apenas quatro valores que se repetem:
Mais explicitamente, para inteiros
:
Cada um desses valores aparece em uma subsequência infinita (por exemplo, os índices
dão a subsequência constante
, os índices
dão a subsequência constante
, etc.). Logo todos esses quatro números são limites de subsequências (pontos de acumulação).
Passo 5
Pela interpretação via subsequências: os limites de subsequências possíveis são exatamente os elementos do conjunto
. Portanto
Passo 6
Para deixar ainda mais claro usando a definição por supremo/ínfimo de caudas: pegue qualquer índice
. Como existem infinitos índices múltiplos de
, existe algum
com
múltiplo de
, então a cauda
contém o valor
. Assim
(não pode ser maior que
porque cosseno vale no máximo
). Portanto a sequência dos supremos das caudas é constante igual a
, e seu limite é
. Analogamente, existe sempre algum
com
, para o qual o termo vale
, então
para toda cauda, e a sequência dos ínfimos das caudas é constante
. Assim os limites dos ínfimos das caudas é
. Isso confirma de forma direta que
e
.