Determine the value of the following gas diffusivites using the Hirschfelder equation:
carbon monoxide/air at 310 K and 1.5 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o coeficiente de difusão binária entre monóxido de carbono e ar nas condições \;T=310\\ \mathrm{K}\; e \;P=1{,}5\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\;, usando a equação de Hirschfelder.
Informações fornecidas explicitamente: \;T=310\\ \mathrm{K}\; e \;P=1{,}5\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\;.
O que é pedido: \;D_{\text{CO-air}} (coeficiente de difusão binária) nessas condições.

Passo 2

Apresento a equação prática de Hirschfelder (forma usada em engenharia), explicando cada termo e unidades:
D_{AB}=0{,}001858\;\frac{T^{3/2}}{P\;\sigma_{AB}^{2}\;\Omega_{D}}\;\sqrt{\frac{1}{M_{A}}+\frac{1}{M_{B}}}
onde:
  • \;D_{AB} está em \mathrm{cm^{2}/s};
  • \;T é a temperatura em \mathrm{K};
  • \;P é a pressão em \mathrm{atm};
  • \;\sigma_{AB} é o diâmetro efetivo (Lennard–Jones) em \text{\AA} (ångström);
  • \;\Omega_{D} é a integral de colisão adimensional (função do \;T^{*});
  • \;M_A,\;M_B são massas molares em \mathrm{g/mol}.
    Observação didática rápida: a constante 0{,}001858 já coleta fatores físicos e fatores de unidade para dar D em \mathrm{cm^{2}/s} quando os outros termos usam as unidades indicadas.

Passo 3

Precisamos dos parâmetros moleculares. Vou adotar parâmetros típicos da literatura (valores padrão usados para cálculos práticos):
  • Para monóxido de carbono (CO): \;M_{\text{CO}}=28{,}01\\ \mathrm{g/mol}, \;\sigma_{\text{CO}}=3{,}69\\ \text{\AA}, \;\varepsilon_{\text{CO}}/k=91{,}7\\ \mathrm{K}.
  • Para ar (aproximação média N2/O2): \;M_{\text{air}}=28{,}97\\ \mathrm{g/mol}, \;\sigma_{\text{air}}=3{,}617\\ \text{\AA}, \;\varepsilon_{\text{air}}/k=78{,}6\\ \mathrm{K}.
    Comentário: esses \sigma e \varepsilon/k são parâmetros Lennard–Jones encontrados em tabelas; pequenas variações nas fontes levam a variações de ordem \sim10\% em D.

Passo 4

Calcular as grandezas combinadas necessárias (regras de combinação):
  • diâmetro efetivo (média aritmética)
\sigma_{AB}=\frac{\sigma_{A}+\sigma_{B}}{2}=\frac{3{,}69+3{,}617}{2}=3{,}6535\\ \text{\AA}.
  • energia efetiva (média geométrica)
\frac{\varepsilon_{AB}}{k}=\sqrt{\left(\frac{\varepsilon_{A}}{k}\right)\left(\frac{\varepsilon_{B}}{k}\right)} =\sqrt{91{,}7\times78{,}6}=84{,}90\\ \mathrm{K}.
  • temperatura reduzida para a integral de colisão
T^{*}=\frac{T}{\varepsilon_{AB}/k}=\frac{310}{84{,}90}=3{,}65\\ (\text{adimensional}).

Passo 5

Determinar a integral de colisão \Omega_{D} para T^{*}=3{,}65.
Didática: \Omega_{D} depende da interação (Lennard–Jones) e do T^{*}; normalmente obtém-se de tabelas de Hirschfelder/Neufeld ou pela correlação empírica de Neufeld et al. Para T^{*} entre 3 e 4 a integral de colisão fica pouco acima de 1. Usando a tabela/correlação padrão, tomo
\Omega_{D}\approx 1{,}05.
Observação: esse valor é uma leitura interp. da tabela/correlação; pequenas variações alteram D em poucos por cento.

Passo 6

Converter pressão para \mathrm{atm} (pois a fórmula exige \mathrm{atm}):
P(\text{atm})=\frac{1{,}5\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}}{1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa/atm}}=1{,}4809\\ \text{atm}\approx1{,}481\\ \text{atm}.

Passo 7

Calcular o fator de massa na equação:
\sqrt{\frac{1}{M_{A}}+\frac{1}{M_{B}}} =\sqrt{\frac{1}{28{,}01}+\frac{1}{28{,}97}} =\sqrt{0{,}03568+0{,}03451} =\sqrt{0{,}07019}=0{,}2650.

Passo 8

Calcular T^{3/2} e montar a equação numérica (tudo em unidades da fórmula):
T^{3/2}=310^{3/2}=310\sqrt{310}=310\times17{,}606\approx5\,457{,}9.
Agora aplico a equação:
D_{AB}=0{,}001858\;\frac{5\,457{,}9}{(1{,}4809)\;(3{,}6535)^{2}\;(1{,}05)}\times0{,}2650.
Calcule passo a passo:
\sigma_{AB}^{2}=(3{,}6535)^{2}=13{,}352\\ \text{\AA}^{2}.
Denominador parcial:
(1{,}4809)\times13{,}352\times1{,}05=20{,}777\\ (\text{adimensional}).
Numerador parcial:
0{,}001858\times5\,457{,}9=10{,}136.
Razão:
\frac{10{,}136}{20{,}777}=0{,}4880.
Multiplicando pelo fator de massa:
D_{AB}=0{,}4880\times0{,}2650=0{,}1294\\ \mathrm{cm^{2}/s}.

Passo 9

Converter para unidades SI ( \mathrm{m^{2}/s}):
1\\ \mathrm{cm^{2}/s}=1\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/s},
então
D_{AB}=0{,}1294\\ \mathrm{cm^{2}/s}=1{,}294\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.

Passo 10

Comentário final e confiança: o valor calculado é \;D_{\text{CO-air}}\approx1{,}29\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
Lembre-se que a incerteza principal vem dos parâmetros de Lennard–Jones e da escolha de \Omega_{D}; esperar variações da ordem de \pm10\% é razoável. Vai bem na prova — segue o passo a passo: pegar parâmetros, calcular \sigma_{AB} e \varepsilon_{AB}/k, obter \Omega_{D} para T^{*}, converter unidades e aplicar a fórmula.

Resposta

\;D_{\text{CO–air}} \approx 1{,}29\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s} = 0{,}129\\ \mathrm{cm^{2}/s}

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